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金融代写|期权定价理论代写Option Pricing Theory代考|Summary and Conclusions
In this chapter we first established the importance of transaction costs in the pricing of options by showing bid-ask spread data from a long series of S\&P 500 European options. These data imply that the equilibrium prices in the option market are only observable within very wide margins of error, especially for OTM options. Yet it is precisely these options that are almost always used in extracting the forward-looking option-implied volatilities. We have also surveyed the few attempts to deal with these imprecisions in the data by explicitly modeling the determination of the spread through extensions of the no arbitrage methodology, which have produced trivial results for realistic trading conditions even in markets that are otherwise complete.
We also surveyed the portfolio selection literature in the presence of proportional transaction costs and its key finding, the existence of an NT region in which the investor refrains from trading. The most powerful results are in discrete time, since they offer greater flexibility in handling important features of the problem such as the length of the investment horizon and the accuracy of the approximations compared to the more elegant continuous time solutions. Nonetheless, a simultaneous equilibrium in the underlying and the option market in order to derive SD option pricing bounds by applying the LP mcthod of the prcvious chaptcr did not succeed in achieving meaningful results under general trading conditions and proportional transaction costs. In the next two chapters we show that an alternative formulation of the $\mathrm{SD}$ approach can, indeed, produce nontrivial option pricing results, which have been used to demonstrate some highly surprising empirical findings.
金融代写|期权定价理论代写Option Pricing Theory代考|European Index Option Bounds
The derivation of the bounds follows an extension of the method applied in the first section of Chap. 2, which in turn requires the value function $V\left(x_t, y_t, t\right)$ of an investor or trader holding only a risky asset (the index or stock) and a riskless bond. We adopt the same notation as in Sect. $3.2$ of the previous chapter, with some modifications in order to recognize the role of dividends that will be important in the case of American options. At date $t$, the cum dividend stock price is $\left(1+\gamma_t\right) S_t$, the cash dividend is $\gamma_t S_t$, and the ex dividend stock price is $S_t$, where the dividend yield parameters $\left{\gamma_t\right}_{t=1, \ldots, T^*}$ are assumed to satisfy the condition $0 \leq \gamma_t<1$ and be deterministic and known to the trader at time zero. At each date $t$, the trader pays $\left(1+k_1\right) S_t$ out of the bond account to purchase one share of stock and is credited $\left(1-k_2\right) S_t$ in the bond account to sell (or sell short) one share of the risky asset. The trader enters the market at date $t$ with dollar holdings $x_t$ in the bond account and $y_t / S_t$ ex dividend shares of stock. The endowments are stated net of any dividend payable on the stock at time $t .{ }^1$
As before, the trader increases (or decreases) the dollar holdings in the stock account from $y_t$ to $y_t{ }^{\prime}=y_t+v_t$ by decreasing (or increasing) the bond account from $x_t$ to $x_t{ }^{\prime}=x_t-v_t-\max \left[k_1 v_t,-k_2 v_t\right]$. The decision variable $v_t$ is constrained to be measurable with respect to the information up to date $t$. The bond and stock account dynamics are somewhat different from Eqs. (3.8) and (3.9) of the previous chapter: $$
\begin{gathered}
x_{t+1}=\left{x_t-v_t-\max \left[k_1 v_t,-k_2 v_t\right]\right} R+\left(y_t+v_t\right) \frac{\gamma_{t+1} S_{t+1}}{S_t}, \quad t \leq T^{\prime}-1 \
y_{t+1}=\left(y_t+v_t\right) \frac{S_{t+1}}{S_t}, \quad t \leq T^{\prime}-1 .
\end{gathered}
$$
We adopt the same assumptions as in Sect. $3.2$ of Chap. 3 about the liquidation of the portfolio at the terminal date and the recursive maximization of the expectation of the increasing and concave terminal utility function $E\left[u\left(x_{T^{\prime}}+y_{T^{\prime}}-\max \left[-k_1 y_{T^{\prime}}, k_2 y_{T^{\prime}}\right]\right) \mid S_t\right]$.
期权理论代考
金融代写|期权定价理论代写Option Pricing Theory代考|Summary and Conclusions
在本章中，我们首先通过展示一系列标准普尔 500 欧洲期权的买卖差价数据，确定了交易成本在期权定价中的重要性。这些数据意味着期权市场的均衡价格只能在非常大的误差范围内观察到，尤其是对于 OTM 期权。然而，正是这些期权几乎总是用于提取前瞻性期权隐含波动率。我们还调查了通过扩展无套利方法对价差的确定进行明确建模来处理数据中这些不精确性的少数尝试，即使在其他方面完整的市场中，这些方法对于现实的交易条件也产生了微不足道的结果。
我们还调查了存在比例交易成本的投资组合选择文献及其主要发现，即存在投资者避免交易的 NT 区域。最强大的结果是离散时间的，因为与更优雅的连续时间解决方案相比，它们在处理问题的重要特征方面提供了更大的灵活性，例如投资期限的长度和近似值的准确性。尽管如此，为了通过应用前一章的 LP 方法推导 SD 期权定价界限，标的和期权市场的同时均衡并没有在一般交易条件和成比例的交易成本下取得有意义的结果。在接下来的两章中，我们展示了小号丁事实上，这种方法可以产生重要的期权定价结果，这些结果已被用来证明一些非常令人惊讶的实证结果。
金融代写|期权定价理论代写Option Pricing Theory代考|European Index Option Bounds
边界的推导遵循第 1 章第一节中应用的方法的扩展。2，这又需要价值函数在(X吨,是吨,吨)仅持有风险资产（指数或股票）和无风险债券的投资者或交易者。我们采用与 Sect 中相同的符号。3.2对上一章的内容进行了一些修改，以便认识到股息在美式期权中的重要作用。在日期吨, 附带股息股价为(1+C吨)小号吨，现金股利为C吨小号吨，除息股价为小号吨，其中股息收益率参数\left{\gamma_t\right}_{t=1, \ldots, T^*}\left{\gamma_t\right}_{t=1, \ldots, T^*}假定满足条件0≤C吨<1并且在时间为零时是确定性的并且为交易者所知。在每个日期吨, 交易者支付(1+k1)小号吨从债券账户中购买一股股票并记入贷方(1−k2)小号吨在债券账户中卖出（或卖空）一份风险资产。交易者在日期进入市场吨持有美元X吨在债券账户和是吨/小号吨除息股票。捐赠基金在扣除股票当时应付的任何股息后列示吨.1
和以前一样，交易者增加（或减少）股票账户中的美元持有量是吨至是吨′=是吨+在吨通过减少（或增加）债券账户X吨至X吨′=X吨−在吨−最大限度[k1在吨,−k2在吨]. 决策变量在吨被限制为就最新信息而言是可衡量的吨. 债券和股票账户动态与方程式有些不同。上章（3.8）和（3.9）：
\begin{gathered} x_{t+1}=\left{x_t-v_t-\max \left[k_1 v_t,-k_2 v_t\right]\right} R+\left(y_t+v_t\right) \frac{\ gamma_{t+1} S_{t+1}}{S_t}, \quad t \leq T^{\prime}-1 \ y_{t+1}=\left(y_t+v_t\right) \frac{ S_{t+1}}{S_t}, \quad t \leq T^{\prime}-1 。\end{聚集}\begin{gathered} x_{t+1}=\left{x_t-v_t-\max \left[k_1 v_t,-k_2 v_t\right]\right} R+\left(y_t+v_t\right) \frac{\ gamma_{t+1} S_{t+1}}{S_t}, \quad t \leq T^{\prime}-1 \ y_{t+1}=\left(y_t+v_t\right) \frac{ S_{t+1}}{S_t}, \quad t \leq T^{\prime}-1 。\end{聚集}
我们采用与 Sect. 中相同的假设。3.2第章。3 关于投资组合在终止日期的清算和递归最大化递增和凹终止效用函数的期望和[在(X吨′+是吨′−最大限度[−k1是吨′,k2是吨′])∣小号吨].
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