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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Recurrence Relations obtained from Solutions

Before giving an algorithm for solving a recurrence relation, we will examine a few recurrence relations that arise from certain closed form expressions. The procedure is illustrated by the following examples.

  1. Form the recurrence relation given $f_n=3 \cdot 5^n, n \geq 0$.
    Solution.
    If $n \geq 1$, then
    $$
    \begin{aligned}
    f_n=3 \cdot 5^n &=3 \cdot 5 \cdot 5^{n-1} \
    &=5 \cdot 3 \cdot 5^{n-1} \
    &=5 f_{n-1}
    \end{aligned}
    $$
    $\therefore$ The recurrence relation is $f_n=5 f_{n-1}$ with $f_0=3$.
  2. Find the recurrence relation satisfying $y_n=A(3)^n+B(-2)^n$.
    Solution.
    Given $y_n=A(3)^n+B(-2)^n$.
    $$
    \begin{aligned}
    \therefore \quad y_{n+1} &=A(3)^{n+1}+B(-2)^{n+1}=3 A(3)^n-2 B(-2)^n \
    y_{n+2} &=A(3)^{n+2}+b(-2)^{n+2}=9 A(3)^n+4 B(-2)^n
    \end{aligned}
    $$
    Eliminating $A$ and $B$ from the above equations,
    $$
    \left|\begin{array}{ccc}
    y_n & 1 & 1 \
    y_{n+1} & 3 & -2 \
    y_{n+2} & 9 & 4
    \end{array}\right|=0
    $$
    Expanding along column 1,
    $$
    \begin{array}{ll}
    & y_n(12+18)-y_{n+1}(4-9)+y_{n+2}(-2-3)=0 \
    \text { or } & 30 y_n+5 y_{n+1}-5 y_{n+2}=0 \
    \text { or } & 6 y_n+y_{n+1}-y_{n+2}-0 \
    \text { or } & y_{n+2}-y_{n+1}-6 y_n=0
    \end{array}
    $$

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Solving Linear Homogenous Recurrence Relations

Consider a linear homogenous recurrence relation of degree $k$ with constant coefficients
$$
f_n=a_1 f_{n-1}+a_2 f_{n-2}+\cdots+a_k f_{n-k}
$$
where $a_1, a_2, \ldots, a_k$ are real numbers and $a_k \neq 0$. The hasic approach for solving linear homogenous recurrence relations is to look for solutions of the form $f_n=r^n$, where $r$ is a constant. Note that $f_n=r^n$ is a solution of the recurrence relation $f_n=a_1 f_{n-1}+a_2 f_{n-2}+\cdots+a_k f_{n-k}$ if and only if
$$
r^n=c_1 r^{n-1}+c_2 r^{n-2}+\cdots+c_k r^{n-k} .
$$

When both sides of this equation are divided by $r^{n-k}$ and the right-hand side is subtracted from the left, we obtain
$$
r^k-c_1 r^{k-1}-c_2 r^{k-2}-\cdots-c_{k-1} r-c_k=0 .
$$
Consequently, the sequence $\left{f_n\right}$ with $f_n=r^n$ is a solution if and only if $r$ is a solution of this last equation.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|MPCS50103

离散数学代写

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Recurrence Relations obtained from Solutions

在给出求解递归关系的算法之前,我们将检查一些由某些封闭形式表达式产生的递归关系。以下示例说 明了该过程。

  1. 形成给定的递归关系 $f_n=3 \cdot 5^n, n \geq 0$.
    解决方案。
    如果 $n \geq 1$ ,然后
    $$
    f_n=3 \cdot 5^n=3 \cdot 5 \cdot 5^{n-1} \quad=5 \cdot 3 \cdot 5^{n-1}=5 f_{n-1}
    $$
    $\therefore$ 递归关系是 $f_n=5 f_{n-1}$ 和 $f_0=3$.
  2. 找到递归关系满足 $y_n=A(3)^n+B(-2)^n$.
    解决方案。
    鉴于 $y_n=A(3)^n+B(-2)^n$.
    $$
    \therefore \quad y_{n+1}=A(3)^{n+1}+B(-2)^{n+1}=3 A(3)^n-2 B(-2)^n y_{n+2} \quad=A(3)^{n+2}+b(-2)^{n+2}=9 A(3)^n
    $$
    消除 $A$ 和 $B$ 从上面的方程式,
    沿着第 1 列展开,
    $$
    y_n(12+18)-y_{n+1}(4-9)+y_{n+2}(-2-3)=0 \text { or } 30 y_n+5 y_{n+1}-5 y_{n+2}=0 \text { or } 6 y_n+y_{n+1}
    $$

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Solving Linear Homogenous Recurrence Relations

考虑度的线性齐次递归关系 $k$ 常数系数
$$
f_n=a_1 f_{n-1}+a_2 f_{n-2}+\cdots+a_k f_{n-k}
$$
在哪里 $a_1, a_2, \ldots, a_k$ 是实数并且 $a_k \neq 0$. 求解线性齐次递归关系的 hasic 方法是寻找以下形式的解 $f_n=r^n$ , 在哪里 $r$ 是一个常数。注意 $f_n=r^n$ 是递归关系的解
$f_n=a_1 f_{n-1}+a_2 f_{n-2}+\cdots+a_k f_{n-k}$ 当且仅当
$$
r^n=c_1 r^{n-1}+c_2 r^{n-2}+\cdots+c_k r^{n-k} .
$$
当这个等式两边除以 $r^{n-k}$ 左边减去右边,我们得到
$$
r^k-c_1 r^{k-1}-c_2 r^{k-2}-\cdots-c_{k-1} r-c_k=0 .
$$
因此,序列左{f_n`右 $}$ 和 $f_n=r^n$ 是一个解决方案当且仅当 $r$ 是最后一个方程的解。

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