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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Solving Linear Non-homogenous Recurrence Relations

The solution of a linear non-homogenous recurrence relation with constant coefficients is the sum of the two parts, the homogenous solution, which satisfies the recurrence relation when the right-hand side of the equation is set to 0 , and the particular solution, which satisfies the difference equation with $f(n)$ on the right-hand side.

There is no general procedure for determining the particular solution of a difference equation. However, in simple cases, this solution can be obtained by the method of inspection. To determine the particular solution, we use the following rules:
Rule 1:
When $f(n)$ is of the form of a polynomial of degree $m$ in $n$,
$$
k_0+k_1 n+k_2 n^2+k_3 n^3+\cdots+k_{m-1} n^{m-1}+k_m n^m,
$$ the corresponding particular solution will be of the form
$$
Q_0+Q_1 n+Q_2 n^2+Q_3 n^3+\cdots+Q_{m-1} n^{m-1}+Q_m n^m .
$$
Rule 2:
When $f(n)$ is of the form
$$
\left(k_0+k_1 n+k_2 n^2+\cdots+k_{m-1} n^{m-1}+k_m n^m\right) a^n,
$$
the corresponding particular solution is of the form
$$
\left(Q_0+Q_1 n+Q_2 n^2+\cdots+Q_{m-1} n^{m-1}+Q_m n^m\right) a^n
$$
if $a$ is not a characteristic root of the recurrence relation.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Generating Functions

In this section, we will show how recurrence relations can be solved using the powerful generating function method. Generating function is an important tool in discrete mathematics, and its use is by no means confined to the solution of recurrence relations.

If $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n$ is a finite sequence of numbers, the generating function for the $a_n$ ‘s is the polynomial
$$
G(z)=\sum_{k=0}^n a_k z^k=a_0+a_1 z+a_2 z^2+\cdots+a_n z^n
$$
where $z$ is an indeterminate (that is, an abstract) symbol. If $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$ is an infinite sequence of numbers, its generating function is defined to be
$$
G(z)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k=a_0+a_1 z+a_2 z^2+\ldots
$$
The symbol $z$ is just the name given to a variable and has no special significance. For any sequence $\left{a_n\right}$, we write $G(z)$ to denote the generating function of $\left{a_n\right}$. Clearly, given a sequence, we can easily obtain its generating function and its converse. For example, the generating function of $a_n=\alpha_n$, $n \geq 0$ is
$$
\alpha^0+\alpha z+\alpha^2 z^2+\alpha^3 z^3+\ldots
$$
We note that the infinite series (2.26) can be written in closed form as $\frac{1}{1-\alpha z}$ which is a rather compact way to represent the sequence $\left{a_n\right}$ or $\left(a, \alpha, \alpha^2, \ldots\right)$.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|MATH300

离散数学代写

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Solving Linear Non-homogenous Recurrence Relations

常系数线性非齐次递推关系的解是两部分之和,齐次解满足等式右边为 0 时的递归关系,特解为满足差 分方程 $f(n)$ 在右手侧。
没有确定差分方程的特解的通用程序。但是,在简单的情况下,可以通过检查的方法获得该解决方案。 为了确定特定的解决方案,我们使用以下规则:
规则 1:
当 $f(n)$ 是次数多项式的形式 $m$ 在 $n$ r
$$
k_0+k_1 n+k_2 n^2+k_3 n^3+\cdots+k_{m-1} n^{m-1}+k_m n^m,
$$
相应的特定解决方案将具有以下形式
$$
Q_0+Q_1 n+Q_2 n^2+Q_3 n^3+\cdots+Q_{m-1} n^{m-1}+Q_m n^m .
$$
规则 $2:$
何时 $f(n)$ 是形式
$$
\left(k_0+k_1 n+k_2 n^2+\cdots+k_{m-1} n^{m-1}+k_m n^m\right) a^n,
$$
相应的特定解决方案的形式
$$
\left(Q_0+Q_1 n+Q_2 n^2+\cdots+Q_{m-1} n^{m-1}+Q_m n^m\right) a^n
$$
如果 $a$ 不是递归关系的特征根。

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在本节中,我们将展示如何使用强大的生成函数方法求解递归关系。生成函数是离散数学中的重要工 具,其用途绝不仅限于求解递归关系。
如果 $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n$ 是一个有限的数字序列,生成函数为 $a_n$ 是多项式
$$
G(z)=\sum_{k=0}^n a_k z^k=a_0+a_1 z+a_2 z^2+\cdots+a_n z^n
$$
在哪里 $z$ 是不确定的 (即抽象的) 符号。如果 $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$ 是无限数列,其生成函数定义为
$$
G(z)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k=a_0+a_1 z+a_2 z^2+\ldots
$$
符号 $z$ 只是给变量起的名字,没有特殊意义。对于任何序列左{a_n|右 $}$ ,我们写 $G(z)$ 表示的生成函数 左{a_n|右 $}$. 显然,给定一个序列,我们可以很容易地得到它的母函数及其逆函数。例如,生成函数 $a_n=\alpha_n, n \geq 0$ 是
$$
\alpha^0+\alpha z+\alpha^2 z^2+\alpha^3 z^3+\ldots
$$
$\left(a, \alpha, \alpha^2, \ldots\right)$

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