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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Solved Problems
- Determine whether the sequence $\left{f_n\right}={3 n}$ is a solution of the recurrence relation: $f_n=2 f_{n-1}-f_{n-2}$, for $n=2,3,4, \ldots$
Solution.
Suppose $f_n=3 n$. Then for $n \geq 2$,
$$
\begin{aligned}
f_n &=2 f_{n-1}-f_{n-2} \
&=2[3(n-1)]-3(n-2) \quad \text { since } f_n=3 n \
&=6 n-6-3 n+6=3 n
\end{aligned}
$$
$\therefore \quad\left{f_n\right}$, where $f_n=3 n$, is a solution of the recurrence relation. - Show that the sequence $\left{f_n\right}$ is a solution of the recurrence relation $f_n=-3 f_{n-1}+4 f_{n-2}$ if $f_n=2(-4)^n+3$
Solution.
$$
\begin{aligned}
f_n &=-3 f_{n-1}+4 f_{n-2} \
&=-3\left[2(-4)^{n-1}+3\right]+4\left[2(-4)^{n-2}+3\right] \
&=-6(-4)^{n-1}-9+8(-4)^{n-2}+12 \
&=-6(-4)^{n-1}+8(-4)^{n-2}+3 \
&=-6(-4)^{n-1}-2(-4)^{n-1}+3 \
&=2(-4)^n+3
\end{aligned}
$$
$\therefore f_n=2(-4)^n+3$ is a solution of the recurrence relation.
Now, we discuss about a class of recurrence relations known as linear recurrence relations with constant coefficients.
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Linear Recurrence Relation
A recurrence relation of the form
$$
a_0 f_n+a_1 f_{n-1}+a_2 f_{n-2}+\cdots+a_k f_{n-k}=f(n)
$$
where $a_i$ ‘s are constants, is called a linear recurrence relation with constant coefficients. The recurrence relation (2.4) is known as a $k^{\text {th }}$-order recurrence relation, provided both $a_0$ and $a_k$ are non-zero.
Note: The phrase ” $k^{\text {th }}$-order” means that each term in the sequence depends only on the $k$ previous terms.
Example 1:
Consider the Fibonacci sequence defined by the recurrence relation $f_n=f_{n-1}+f_{n-2}, n \geq 2$ and the initial conditions $f_0=0$ and $f_1=1$. The recurrence relation is called a second-order relation because $f_n$ depends on the two previous terms of $f_n$.
Example 2:
Consider the recurrence relation $f(k)-5 f(k-1)+6 f(k-2)=4 k+10$ defined for $k \geq 2$, together with the initial conditions $f(0)=\frac{7}{3}$ and $f(1)=5$. Clearly, it is a second-order linear recurrence relation.
离散数学代写
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Solved Problems
- 判断是否顺序 \left{f_n!right $}={3 \mathrm{n}}$ 是递归关系的解: $f_n=2 f_{n-1}-f_{n-2}$ ，为了 $n=2,3,4, \ldots$
解决方案。
认为 $f_n=3 n$. 然后为 $n \geq 2$ ，
$$
f_n=2 f_{n-1}-f_{n-2} \quad=2[3(n-1)]-3(n-2) \quad \text { since } f_n=3 n=6 n-6-3 n+6=3 n
$$
解决方案。
$$
f_n=-3 f_{n-1}+4 f_{n-2} \quad=-3\left[2(-4)^{n-1}+3\right]+4\left[2(-4)^{n-2}+3\right]=-6(-4)^{n-1}-9+8(-4)^{n-2}
$$
$\therefore f_n=2(-4)^n+3$ 是递归关系的解。
现在，我们讨论一类称为常系数线性递推关系的递推关系。
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Linear Recurrence Relation
形式的递归关系
$$
a_0 f_n+a_1 f_{n-1}+a_2 f_{n-2}+\cdots+a_k f_{n-k}=f(n)
$$
在哪里 $a_i$ 是常量，称为常系数线性递推关系。递归关系 (2.4) 被称为 $k^{\text {th }}-$ 顺序递归关系，前提是两者 $a_0$ 和 $a_k$ 是非零的。
注意: 短语“ $k^{\text {th }}-\operatorname{order}^{\prime \prime}$ 意味着序列中的每一项只取决于 $k$ 以前的条款。
示例 1:
考虑由递归关系定义的斐波那契数列 $f_n=f_{n-1}+f_{n-2}, n \geq 2$ 和初始条件 $f_0=0$ 和 $f_1=1$. 递归关系 称为二阶关系，因为 $f_n$ 取决于前两项 $f_n$.
示例 2:
考虑递归关系 $f(k)-5 f(k-1)+6 f(k-2)=4 k+10$ 定义为 $k \geq 2$ ，连同初始条件 $f(0)=\frac{7}{3}$ 和 $f(1)=5$. 显然，它是一个二阶线性递推关系。
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