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数学代写|密码学代写cryptography theory代考|Finding Suitable Primes

The prime number theorem says that in any given range of integers, primes are fairly common (inversely proportional to the number of digits). Since we can efficiently recognise primes, we can fairly quickly find large primes simply by choosing random large numbers until we find a prime.

By Requirement 2.5, we need a cyclic group such that the group order is divisible by a large prime. This means that we are not just looking for primes, we are looking for a prime $p$ such that $p-1$ is divisible by a large prime.
We can do this by first choosing a sufficiently large prime $\ell$ and then choosing random numbers $k$ until $2 k \ell+1$ is prime. In practice, this algorithm performs as well as a search for an arbitrary prime.

Example 2.19. Testing integers sequentially starting at 2000, we find that $\ell=$ 2003 is prime. We then test multiples starting with 101 and find that when $k=103$ the number $p=2 k \ell+1=412619$ is prime.

Sometimes, we want the $p-1$ to be twice a prime $\ell$. In this case, $p$ is called a safe prime and $\ell$ is called a Sophie-Germain prime. This time, the need for $\ell$ and $2 \ell+1$ to be prime simultaneously means that we need to look at many more candidates before we find a suitable prime. This will be slow, but there are techniques to speed up the search.

Example 2.20. Again, testing integers sequentially starting at 2003, we find that $\ell=2039$ is prime at the same time as $p=2 \ell+1=4079$.

Exercise $2.53$. About one third of all candidates will be divisible by 3 . Checking that a number is not divisible by 3 is much faster than using the primality testing algorithms from Section 2.3. Expand on this idea and explain how we can use so-called trial division by small primes to exclude most candidate primes before finally using the algorithms from Section $2.3$.

数学代写|密码学代写cryptography theory代考|Index Calculus

All of the algorithms from Section $2.2$ will work for $\mathbb{F}_p^*$. But it turns out that we can do very much better. We shall develop the ideas of index calculus in a general setting, and then show how the properties of prime fields give us a more efficient algorithm for computing discrete logarithms.

We begin with an observation about abstract cyclic groups, which is an extension of (2.1). Let $G$ be a cyclic group of order $n$. Let $g$ be some generator and let $x$ be a group element. Suppose we have $\nu$ pairs of integers $\left(r_1, t_1\right),\left(r_2, t_2\right), \ldots,\left(r_\nu, t_\nu\right)$ and integers $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_\nu$ (not all congruent to zero modulo $n$ ) such that
$$
\prod_{i=1}^\nu\left(x^{t_i} g^{r_i}\right)^{\alpha_i}=1
$$
This will give us the equation
$$
x \sum_i \alpha_i t_i g^{\sum_i \alpha_i r_i}=1,
$$
which is of the same form as (2.1). As long as $\sum_i \alpha_i t_i$ is invertible modulo $n$, we can recover $\log _g x$ from the equation using $2 \nu+2$ arithmetic operations $(\nu+1$ multiplications, $\nu$ additions and one inversion).
We first consider the case when the group order $n$ is prime.
Example 2.21. Consider the prime $p=1019$ with the elements $g=3$, generating a subgroup $G$ of $\mathbb{F}_p^*$ of order 509 . Let $x=11$.
With the relations
$$
\begin{aligned}
&y_1=g^{112} x^{239}=576 \quad y_2=g^{477} x^{274}=70 \quad y_3=g^{378} x^{248}=180 \
&y_4=g^{80} x^{66}=42 \quad y_5=g^{331} x^{488}=720 \
&
\end{aligned}
$$
and intègers $\alpha_1=145, \alpha_2=436, \alpha_3=72, \alpha_4=73$ and $\alpha_5=1$, wee get that
$$
y_1^{145} x_2^{436} y_3^{72} y_4^{73} y_5=1
$$

数学代写|密码学代写cryptography theory代考|CS6260

密码学代考

数学代写|密码学代写cryptography theory代考|Finding Suitable Primes

素数定理说,在任何给定的整数范围内,素数都相当普遍(与位数成反比)。由于我们可以有效地识别素数,因此我们可以通过选择随机大数直到找到素数来相当快速地找到大素数。

根据要求 2.5,我们需要一个循环群,使得群阶可以被一个大质数整除。这意味着我们不只是在寻找素数,我们正在寻找一个素数p这样p−1可以被一个大素数整除。
我们可以通过首先选择一个足够大的素数来做到这一点ℓ然后选择随机数k直到2kℓ+1是质数。在实践中,该算法的性能与搜索任意素数一样好。

示例 2.19。从 2000 开始依次测试整数,我们发现ℓ=2003 年是黄金时期。然后我们测试从 101 开始的倍数,发现当k=103号码p=2kℓ+1=412619是质数。

有时,我们希望p−1成为素数的两倍ℓ. 在这种情况下,p称为安全素数,并且ℓ称为索菲-热尔曼素数。这一次,需要ℓ和2ℓ+1同时成为质数意味着我们需要在找到合适的质数之前查看更多的候选者。这会很慢,但有一些技术可以加快搜索速度。

示例 2.20。同样,从 2003 年开始依次测试整数,我们发现ℓ=2039同时是质数p=2ℓ+1=4079.

锻炼2.53. 大约三分之一的候选人将被 3 整除。检查一个数不能被 3 整除比使用 2.3 节中的素数测试算法要快得多。扩展这个想法并解释我们如何在最终使用第节中的算法之前使用所谓的小素数试验除法来排除大多数候选素数2.3.

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本节中的所有算法 $2.2$ 将工作 $\mathbb{F}p^$. 但事实证明,我们可以做得更好。我们将在一般情况下发展指数演算的 思想,然后展示素数域的性质如何为我们提供更有效的计算离散对数的算法。 我们从对抽象循环群的观察开始,它是 (2.1) 的扩展。让 $G$ 是有序的循环群 $n$. 让 $g$ 成为一些发电机,让 $x$ 成为一个群元素。假设我们有 $\nu$ 整数对 $\left(r_1, t_1\right),\left(r_2, t_2\right), \ldots,\left(r\nu, t_\nu\right)$ 和整数 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_\nu$ (并非全等 于零模 $n)$ 这样
$$
\prod_{i=1}^\nu\left(x^{t_i} g^{r_i}\right)^{\alpha_i}=1
$$
这会给我们方程式
$$
x \sum_i \alpha_i t_i g^{\sum_i \alpha_i r_i}=1,
$$
其形式与 (2.1) 相同。只要 $\sum_i \alpha_i t_i$ 是可逆模 $n$, 我们可以恢筫 $\log _g x$ 从等式使用 $2 \nu+2$ 算术运算 $(\nu+1$ 乘 法, $\nu$ 加法和一次反转)。
我们首先考虑团购时的情况 $n$ 是质数。
示例 2.21。考虑质数 $p=1019$ 与元縤 $g=3$ ,生成一个子群 $G$ 的 $\mathbb{F}_p^$ 订单 509。让 $x=11$.
有了关系
$$
y_1=g^{112} x^{239}=576 \quad y_2=g^{477} x^{274}=70 \quad y_3=g^{378} x^{248}=180 \quad y_4=g^{80} x^{66}=42 \quad y_5=g^{331} x^{488}
$$
和整数 $\alpha_1=145, \alpha_2=436, \alpha_3=72, \alpha_4=73$ 和 $\alpha_5=1$ ,我们明白了
$$
y_1^{145} x_2^{436} y_3^{72} y_4^{73} y_5=1
$$

数学代写|密码学代写cryptography theory代考

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