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数学代写|密码学代写cryptography theory代考|ELLIPTIC CURVES
Elliptic curves have been studied for a long time by number theorists and a rich and varied theory has been developed. We are interested in elliptic curves because the points on an elliptic curve over a finite field forms a group that is suitable for use in cryptography.
From a mathematical point of view, studying elliptic curves over any field is interesting. From a cryptographic point of view, our groups come from elliptic curves over finite fields, which must therefore be our main interest. To simplify our presentation, we shall restrict ourselves to elliptic curves of a special form defined over prime fields. We note that essentially all of the theory we discuss works equally well for elliptic curves defined over other fields, though sometimes with minor modifications.
Even though we only discuss curves over finite prime fields, it is still convenient to use drawings of curves over the real numbers to illustrate ideas.
We begin by considering the algebraic curve $C$ defined over the field $\mathbb{F}p, p$ a large prime, given by the polynomial equation $$ Y^2=X^3+A X+B, \quad A, B \in \mathbb{F}_p . $$ The points on the curve are the points in the affine plane that satisfy the curve equation. However, we cannot restrict the coordinates of the points to be elements of $\mathbb{F}_p$. We fix an algebraic closure $\overline{\mathbb{F}}$ of $\mathbb{F}_p$ and consider the points on the curve to be all the pairs $(x, y) \in \overline{\mathbb{F}}^2$ satisfying the curve equation. A point on a curve with coordinates in $\mathbb{F}_p$ is $\mathbb{F}_p$-rational or just rational. Example 2.24. Consider the curve over $\mathbb{F}{13}$ defined by $Y^2=X^3+X+2$. The points in $\mathbb{F}_p^2$ satisfying the equation are (observe that $11=-2,8=-5$, etc.)
$(1,2),(1,11),(2,5),(2,8),(6,4),(6,9),(7,1),(7,12),(9,5),(9,8),(12,0)$.
A curve is smooth if its partial derivatives never vanish all at the same time for points on the curve.
数学代写|密码学代写cryptography theory代考|Group Operation
We are now ready to turn the set of points on an elliptic curve into a group. We begin by defining a binary operation on the points of the elliptic curve, and then define the actual group operation in terms of the binary operation, as shown in Figure 2.4.
D Definition 2.8. We define two binary operations $*$ and $+$ on an elliptic curve $E$ as: $P * Q$ is the point given by Proposition 2.28, and $P+Q=(P * Q) * \mathcal{O}$.
Example 2.33. Consider the elliptic curve over $\mathbb{F}_{13}$ defined by $Y^2=X^3+X+2$.
Since the unique line through $(1,2)$ and $(7,1)$ intersects the curve in a third point $(9,5)$, we find that $(1,2) *(7,1)=(9,5)$.
The line through $(9,5)$ and $\mathcal{O}$ intersects the curve in $(9,-5)$, so according to the definition $(1,2)+(7,1)=((1,2) *(7,1)) * \mathcal{O}=(9,-5)$.
The unique line through $(6,9)$ that is tangent to the curve intersects the curve in the point $(2,5)$, so $(6,9) *(6,9)-(2,5)$.
The line through $(2,5)$ and $\mathcal{O}$ intersects the curve in $(2,-5)$, so $(6,9)+$ $(6,9)=(2,-5)$.
The unique line through $(2,5)$ and $(2,-5)$ intersects the curve in $\mathcal{O}$. The line through $\mathcal{O}$ and $\mathcal{O}$ is the tangent at $\mathcal{O}$, which intersects only there with multiplicity 3 . In other words, $(2,5)+(2,-5)=\mathcal{O}$.
We shall show that there exists an identity element for $+$, there exists inverses for $+$ and that it is commutative. We shall not show that $+$ is associative. There are many ways to do so, but they are either tedious or advanced.
Exercise 2.63. Let $E$ be an elliptic curve and let $P, Q$ be points on $E$. Show that $P * Q=Q * P$, and consequently that $P+Q=Q+P$.
密码学代考
数学代写|密码学代写cryptography theory代考|ELLIPTIC CURVES
椭圆曲线已经被数论学家研究了很长时间，并发展了丰富多样的理论。我们对椭圆曲线咸兴趣，因为在 有限域上的椭圆曲线上的点形成了一个适用于密码学的群。
从数学的角度来看，研究任何领域的椭圆曲线都很有趣。从密码学的角度来看，我们的群来自有限域上 的椭圆曲线，因此这一定是我们的主要兴趣所在。为了简化我们的介绍，我们将限制自己使用在溸数域 上定义的特殊形式的椭圆曲线。我们注意到，基本上我们讨论的所有理论都同样适用于在其他域上定义 的椭圆曲线，尽管有时会稍作修改。
即使我们只讨论有限素数域上的曲线，使用实数上的曲线图来说明想法仍然很方便。
我们首先考虑代数曲线 $C$ 在字段上定义 $\mathbb{F} p, p$ 一个大溸数，由多项式方程给出
$$
Y^2=X^3+A X+B, \quad A, B \in \mathbb{F}_p .
$$
曲线上的点是仿射平面上满足曲线方程的点。但是，我们不能将点的坐标限制为 $\mathbb{F}_p$. 我们修正一个代数 闭包 $\bar{F}$ 的 $\mathbb{F}_p$ 并将曲线上的点视为所有对 $(x, y) \in \overline{\mathbb{F}}^2$ 满足曲线方程。曲线上的一个点，坐标为 $\mathbb{F}_p$ 是 $\mathbb{F}_p$-理 性的或只是理性的。示例 $2.24$ 。 考虑曲线 $\mathbb{F} 13$ 被定义为 $Y^2=X^3+X+2$. 中的要点 $\mathbb{F}_p^2$ 满足方程的是
$$
(1,2),(1,11),(2,5),(2,8),(6,4),(6,9),(7,1),(7,12),(9,5),(9,8),(12,0) \text {. }
$$
如果一条曲线对于曲线上的点的偏导数永远不会同时消失，则该曲线是平滑的。
数学代写|密码学代写cryptography theory代考|Group Operation
我们现在准备将椭圆曲线上的点集变成一个组。我们首先在椭圆曲线的点上定义一个二元运算，然后根 据二元运算定义实际的群运算，如图2.4所示。
$D$ 定义 2.8。我们定义两个二元操作 $*$ 和 $+$ 在椭圆曲线上 $E$ 作为: $P * Q$ 是命题 $2.28$ 给出的点，并且 $P+Q=(P * Q) * \mathcal{O}$.
示例 2.33。考虑椭圆曲线 $\mathbb{F}_{13}$ 被定义为 $Y^2=X^3+X+2$.
由于独特的线路通过 $(1,2)$ 和 $(7,1)$ 在第三点与曲线相交 $(9,5)$ ，我们发现 $(1,2) *(7,1)=(9,5)$.
线路经过 $(9,5)$ 和 $\mathcal{O}$ 与曲线相交于 $(9,-5)$, 所以根据定义
$$
(1,2)+(7,1)=((1,2) *(7,1)) * \mathcal{O}=(9,-5) \text {. }
$$
独特的线路通过 $(6,9)$ 与曲线相切的曲线与曲线相交于点 $(2,5)$ ，所以 $(6,9) *(6,9)-(2,5)$.
线路经过 $(2,5)$ 和 $\mathcal{O}$ 与曲线相交于 $(2,-5)$ ，所以 $(6,9)+(6,9)=(2,-5)$.
独特的线路通过 $(2,5)$ 和 $(2,-5)$ 与曲线相交于 $\mathcal{O}$. 线路经过 $\mathcal{O}$ 和 $\mathcal{O}$ 是切线 $\mathcal{O}$ ，它只在那里与多重性 3 相 交。换句话说， $(2,5)+(2,-5)=\mathcal{O}$.
我们将证明存在一个恒等元 $+$ ，存在逆+并且它是可交换的。我们不会表明+是关联的。有很多方法可以 做到这一点，但它们不是乏味就是高级。
练习 2.63。让 $E$ 是一个椭圆曲线，让 $P, Q$ 要点 $E$. 显示 $P * Q=Q * P$ ，因此 $P+Q=Q+P$.
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