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数学代写|密码学代写cryptography theory代考|Finding Suitable Curves

We have shown that the points on an elliptic curve form a commutative group, and the set of rational points is a finite commutative group. As we saw in Section 2.2, we need a cyclic group whose order is divisible by a large prime.
Exercise 2.65. Show that an elliptic curve has 0,1 or 3 rational points of order 2.
Hint: Use Exercise 2.62.
Exercise 2.66. Let $E$ be the curve defined by $Y^2=X^3+12$ over the field $\mathbb{F}_{13}$. Show that $E$ is not cyclic.

The group of rational points is not cyclic in general, but there must be a large cyclic subgroup.

Fact 2.35. Let $E$ be an elliptic curve defined over $\mathbb{F}p$. Then there exists $n_1, n_2$, where $n_1$ divides both $n_2$ and $p-1$, such that $$ E\left(\mathbb{F}_p\right) \simeq \mathbb{Z}{n_1}^{+} \times \mathbb{Z}_{n_2}^{+} .
$$
But a large cyclic subgroup is not sufficient for our purposes, we also need to know that its order is divisible by a large prime.

Proposition 2.36. Let $p$ be a prime congruent to 2 modulo 3 , and let $E$ be an elliptic curve defined by $Y^2-X^3+B$ over $\mathbb{F}_p$. Then $\left|E\left(\mathbb{F}_p\right)\right|-p+1$.
Proof. Since $p \equiv 2(\bmod 3), 3$ is invertible modulo $p-1$. Then the $\operatorname{map} \zeta \mapsto \zeta^3$ is invertible. If $k \equiv 3^{-1}(\bmod p-1)$, then $\zeta \mapsto \zeta^k$ is the inverse map.

数学代写|密码学代写cryptography theory代考|Discrete Logarithms

In the group $\mathbb{F}_p^*$ the group operation requires two arithmetic operations (one integer multiplication and one integer division), while finding inverses is much more costly (using the extended Euclidian algorithm). Note that division in a finite field is usually done by multiplying with inverses.

In the group $E\left(\mathbb{F}_p\right)$, Proposition $2.34$ says that adding distinct non-inverse points requires one inversion, three multiplications and six additions. Adding a point to itself requires one inversion, two multiplications hy small eonstants, four multiplications, one addition of a constant and four additions.

At first glance, it would seem odd to consider the elliptic curve group, since the group operation there is much more complicated than the group operation in $\mathbb{F}_p^*$. But there is one more variable to consider: the size of the underlying field. Recall that we choose the size of the group such that the discrete logarithm problem in the group is sufficiently difficult.

The algorithms in Section $2.2$ work for any group. For $\mathbb{F}_p^*$ we also have much faster index calculus methods. For most elliptic curves, there are no equivalents of the small primes, so there are no useful index calculus methods.
We briefly describe some results on elliptic curve discrete logarithms.

  • For so-called anomalous elliptic curves, curves defined over $\mathbb{F}_p$ with $p$ elements, there are very efficient algorithms for computing discrete logarithms. These curves are completely unsuitable for use in cryptography.
数学代写|密码学代写cryptography theory代考|CISS3341

密码学代考

数学代写|密码学代写cryptography theory代考|Finding Suitable Curves

我们已经证明,椭圆曲线上的点构成一个交换群,有理点的集合是一个有限交换群。正如我们在 $2.2$ 节 中看到的,我们需要一个循环群,它的阶可以被一个大质数整除。
练习 2.65。证明椭圆曲线有 0,1 或 3 个有理点 2。
提示: 使用练习 2.62。
练习 2.66。让 $E$ 是定义的曲线 $Y^2=X^3+12$ 在球场上 $\mathbb{F}{13}$. 显示 $E$ 不是循环的。 有理点群一般不是循环的,但一定有一个大的循环子群。 事实 2.35。让 $E$ 是定义在 $\mathbb{F} p$. 那么存在 $n_1, n_2$ ,在哪里 $n_1$ 将两者分开 $n_2$ 和 $p-1$ ,这样 $$ E\left(\mathbb{F}_p\right) \simeq \mathbb{Z} n_1^{+} \times \mathbb{Z}{n_2}^{+} .
$$
但是一个大的循环子群不足以满足我们的目的,我们还需要知道它的阶可以被一个大素数整除。
提案 2.36。让 $p$ 是 2 modulo 3 的素数,并且让 $E$ 是由定义的椭圆曲线 $Y^2-X^3+B$ 超过 $F_p$. 然后 $\left|E\left(\mathbb{F}_p\right)\right|-p+1$.
证明。自从 $p \equiv 2(\bmod 3), 3$ 是可逆模 $p-1$. 然后 $\operatorname{map} \zeta \mapsto \zeta^3$ 是可逆的。如果 $k \equiv 3^{-1}(\bmod p-1)$ ,然后 $\zeta \mapsto \zeta^k$ 是逆映射。

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在群里Fp∗群运算需要两次算术运算(一次整数乘法和一次整数除法),而求逆运算的成本要高得多(使用扩展欧几里德算法)。请注意,有限域中的除法通常是通过与逆相乘来完成的。

在群里和(Fp), 命题2.34表示添加不同的非逆点需要一次反转、三次乘法和六次加法。向自身添加一个点需要一次反转、两次小常数乘法、四次乘法、一次常量加法和四次加法。

乍一看,考虑椭圆曲线群似乎很奇怪,因为那里的群运算比Fp∗. 但是还有一个变量需要考虑:底层字段的大小。回想一下,我们选择组的大小使得组中的离散对数问题足够困难。

节中的算法2.2为任何团体工作。为了Fp∗我们还有更快的索引演算方法。对于大多数椭圆曲线,没有小素数的等价物,因此没有有用的指数演算方法。
我们简要描述了椭圆曲线离散对数的一些结果。

  • 对于所谓的反常椭圆曲线,定义在Fp和p元素,有非常有效的算法来计算离散对数。这些曲线完全不适合用于密码学。
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