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数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Computational Results

The polyhedral theory behind valid inequalities and how they are capable of sculpting the convex hull of integer solutions is quite elegant. From the optimization point of view however, our goal is clear: finding an optimal solution. Consequently, it is not relevant whether or not an inequality is valid, as long as we guarantee that there is at least one optimal solution in the feasible region.
Many assignment problems hide a natural symmetry issue that slows down typical branch and bound applications. Symmetric solutions can be seen as different solutions with the same objective function value. In [7], this issue is addressed by introducing symmetry-breaking constraints. Such constraints are intentionally not valid inequalities in the sense that they attempt to remove some integer feasible solutions from the feasible region, while keeping a symmetric solution for each solution removed.

We have adapted these constraints to fit USNMP. Constraints (11) reinforces constraints (2) in a way that the $i$-th demand must be assigned to one of the first $i$ vehicles. Constraints (12) assures that demand $e$ can be assigned to vehicle $i$ only if vehicle $i-1$ serves at least one of the first $e-1$ demands.
$$
\begin{array}{lr}
\sum_{i=1}^e x_e^i=1 & \forall e \in E \
\sum_{j=i}^e x_e^j \leq \sum_{u=i-1}^{e-1} x_u^{i-1} & \forall e \in E, i \in K: e \geq j
\end{array}
$$
Table 1 provides a comparison of performances between the formulation (1)(7) given in [18] solved by CPLEX $12.7$ (column CPLEX) and the reinforced formulation (1)-(9) with the addition of symmetry-breaking constraints (11)(12) and $k$-tree inequalities (10) embedded on the branch-and-cut procedure (column $\mathrm{B} \& \mathrm{C}$ ). The instances were generated randomly with the number of demands $|E|$ ranging from 30 to 50 , the number of stations $|V|$ from 10 to 30 and the capacity was fixed at 5 . For each set of parameters, 3 instances were tested (column $i$ ). The time of resolution $(C P U)$ is displayed in seconds. Time limit was set to one hour and the instances that were not solved within 1 hour are marked with an asterisks. The number of nodes on the branch-and-bound tree is displayed under column Nodes. The gap percentage between the best integer solution found and the lower bound provided by the linear relaxation is displayed under column GAP. Finally, Time on Cuts shows the relative amount of time spent on solving the separation problem.

数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|The Maximum Concurrent Flow

Our motivation for studying this problem stems from transportation networks, be they road or rail-oriented. As a critical increase of the load can induce a decrease of the quality of services, an hypothesis consists of assuming that the passengers traffic tends naturally to balance itself to an equilibrium [18]. One can model this problem by minimizing the maximum capacity utilization, and the latter can be reformulated as a MCFP [20]. In our context, we have historical traffic data including a partial observation of the arc loads for a certain subset of arcs. For some networks, we are also given a subset $A^{\prime} \subset A$ of arcs with known capacities.

In general, however, we do not know the arc capacities. The problem we are interested in is the MCFP with incomplete arc capacities. The MCFP in LP formulation (2) without the capacity constraints is clearly an unbounded LP. To avoid this situation, we employ a given set $S$ of scenarios from our historical arc load database. Each scenario $s=\left(A^s, \ell^s, K^s\right) \in S$ consists of a subset $A^s \subset A$ of arcs, a partial are load function $\ell^s: A^s \rightarrow \mathbb{R}_{+}$, and a set of commodities $K^s$. We require that: (i) missing capacities should be estimated so as to allow the maximum known arc loads over all scenarios, (ii) arc loads from computed flows should be as close as possible to the loads given in the scenarios, and (iii) each flow solution for a scenario should describe an optimal solution of the MCFP w.r.t. capacity and commodity values. We therefore define the following problem, which is new as far as we could ascertain.

Although the IMCFP is natively cast in a multi-objective fashion (see condition (ii)), in practice we minimize a max norm over all arcs and all scenarios. We remark that condition (iii) is only apparently recursive: we want to decide $f, c$ at the same time and also require that every $f^s$ should be optimal flows w.r.t. a putative MCFP instance defined over the values of the $c$ variables and the $K^s$ parameters. We shall see below that the IMCFP can be formulated by means of a Mixed-Integer Linear Programming formulation that combines both primal and dual variables.

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合优化代考

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有效不等式背后的多面体理论以及它们如何塑造整数解的凸包的能力非常优雅。然而,从优化的角度来 看,我们的目标很明确:找到最优解。因此,不等式是否有效无关紧要,只要我们保证在可行域中至少 存在一个最优解即可。
许多分配问题隐藏了一个自然的对称性问题,该问题会椷慢典型的分支定界应用程序的速度。对称解可 以看作是具有相同目标函数值的不同解。在 [7] 中,这个问题通过引入对称破坏约束得到解决。从某种 意义上说,此类约束故意不是有效的不等式,因为它们试图从可行域中移除一些整数可行解,同时为每 个移除的解保留一个对称解。
我们调整了这些约束以适应 USNMP。约束条件 (11) 强化约束条件 (2) 的方式是 $i$-th 需求必须分配给第一 个 $i$ 车辆。约束条件 (12) 确保需求 $e$ 可以分配给车辆 $i$ 仅当车辆 $i-1$ 至少服务于第一个 $e-1$ 需要。
$$
\sum_{i=1}^e x_e^i=1 \quad \forall e \in E \sum_{j=i}^e x_e^j \leq \sum_{u=i-1}^{e-1} x_u^{i-1} \quad \forall e \in E, i \in K: e \geq j
$$
表 1 提供了 CPLEX 求解的 [18] 中给出的公式 (1)(7) 之间的性能比较12.7 (CPLEX 列) 和强化公式 (1)-(9) 添加了对称性破缺约束 (11)(12) 和 $k$-树不等式 (10) 嵌入到分支切割过程中 (列B\&C). 这些实例是根据需 求数量随机生成的 $|E|$ 从 30 到 50 不等,站点数量 $|V|$ 从 10 到 30 ,容量固定为 5 。对于每组参数,测试了 3 个实例 (列 $i)$. 决议时间 $(C P U)$ 以秒为单位显示。时间限制设置为一小时,末在 1 小时内解决的实例 用星号标记。分支定界树上的节点数显示在列节点下。找到的最佳整数解与线性松弛提供的下限之间的 差距百分比显示在 GAP 列下。最后,Time on Cuts 显示解决分离问题所花费的相对时间量。

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我们研究这个问题的动机源于交通网络,无论是公路还是铁路。由于负载的临界增加会导致服务质量下降,假设乘客流量自然地趋于平衡以达到平衡 [18]。可以通过最小化最大容量利用率来模拟这个问题,后者可以重新表述为 MCFP [20]。在我们的上下文中,我们有历史流量数据,包括对特定电弧子集的电弧负载的部分观察。对于某些网络,我们还给出了一个子集一个′⊂一个具有已知容量的弧。

然而,一般来说,我们不知道电弧容量。我们感兴趣的问题是具有不完整弧容量的 MCFP。没有容量约束的 LP 公式 (2) 中的 MCFP 显然是无界 LP。为了避免这种情况,我们使用了一个给定的集合小号来自我们历史电弧负载数据库的场景。每个场景秒=(一个秒,ℓ秒,钾秒)∈小号由一个子集组成一个秒⊂一个弧的部分是加载函数ℓ秒:一个秒→R+, 和一组商品钾秒. 我们要求:(i) 应估算缺失的容量,以便在所有场景中允许最大已知电弧负载,(ii) 计算流量的电弧负载应尽可能接近场景中给出的负载,以及 (iii) ) 场景的每个流程解决方案都应描述 MCFP wrt 容量和商品价值的最佳解决方案。因此,我们定义了以下问题,这是我们可以确定的新问题。

尽管 IMCFP 本身以多目标方式进行投射(参见条件 (ii)),但在实践中我们最小化了所有弧和所有场景的最大范数。我们注意到条件 (iii) 只是表面上递归的:我们想决定F,C同时也要求每F秒应该是最优流 wrt 假定的 MCFP 实例定义在C变量和钾秒参数。我们将在下面看到,IMCFP 可以通过结合了原始变量和对偶变量的混合整数线性规划公式来公式化。

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