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数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Chordal Graphs
In this section, we will consider chordal graphs and characterise those that are contact $B_0$-VPG. First, let us point out the following important observation.
Observation 3. A chordal contact $B_0-V P G$ graph is a block graph.
This follows directly from Lemma 1 and the definition of block graphs.
The following lemma states an important property of minimal chordal non contact $B_0$-VPG graphs that contain neither $K_5$ nor $K_4$-e.
Lemma 2. Let $G$ be a chordal $\left{K_5, K_4\right.$-e $}$-free graph. If $G$ is a minimal non contact $B_0$-VPG graph, then every simplicial vertex of $G$ has degree exactly three.
Proof. Since $G$ is $K_5$-free, every clique in $G$ has size at most four. Therefore, every simplicial vertex has degree at most three. Let $v$ be a simplicial vertex of $G$. Assume first that $v$ has degree one and consider a contact $B_0$-VPG representation of $G-v$ (which exists since $G$ is minimal non contact $B_0-\mathrm{VPG}$ ). Let $w$ be the unique neighbour of $v$ in $G$. Without loss of generality, we may assume that the path $P_w$ lies on some row of the grid. Now clearly, we can add one extra column to the grid between any two consecutive vertices of the grid belonging to $P_w$ and adapt all paths without changing the intersections (if the new column is added bètweeen column $y_i$ and $y_{i+1}$, wè extend all paths containing a grid-êdgee with endpoints in column $y_i$ and $y_{i+1}$ in such a way that they contain the new edges in the same row and between column $y_i$ and $y_{i+2}$ of the new grid, and any other path remains the same). But then we may add a path representing $v$ on this column which only intersects $P_w$ (adding a row to the grid and adapting the paths again, if necessary) and thus, we obtain a contact $B_0$ VPG representation of $G$, a contradiction. So suppose now that $v$ has degree two, and again consider a contact $B_0-\mathrm{VPG}$ representation of $G-v$.
数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Algorithm in the Vertex-Arrival Model
We first give an algorithm, $\operatorname{Deg} \operatorname{TEsT}(d, \epsilon)$, which with high probability returns a $(1+\epsilon)$-approximation of $n_d$ using $\mathrm{O}\left(\frac{1}{\epsilon^2} \log ^2 n\right)$ bits of space. In the description of the algorithm, we suppose that we have a random function COIN: $[0,1] \rightarrow{$ false, true $}$ such that $\operatorname{COIN}(p)=$ true with probability $p$ and $\operatorname{COIN}(p)$ $=$ false with probability $1-p$. Furthermore, the outputs of repeated invocations of COIN are independent.
Algorithm DegTest $(d, \epsilon)$ maintains a sample $S$ of at most $c \log n$ vertices. It ensures that all vertices $v \in S$ have degree at most $d$ in the current graph $G_i$ (notice that $\operatorname{deg}{G_i}(v) \leq \operatorname{deg}{G_j}(v)$, for every $j \geq i$ ). Initially, $p=1$, and all vertices of degree at most $d$ are stored in $S$. Whenever $S$ reaches the limiting size of $c \log n$, we downsample $S$ by removing every element of $S$ with probability $\frac{1}{1+\epsilon^{\prime}}$ and update $p \leftarrow p /\left(1+\epsilon^{\prime}\right)$. This guarantees that throughout the algorithm $S$ constitutes a uniform random sample of all vertices of degree at most $d$ in $G_i$.
The algorithm outputs $m \leftarrow c \log (n) / p$ as the estimate for $n_d$, where $p$ is the smallest value of $p$ that occurs during the course of the algorithm. It is updated whenever $S$ reaches the size $c \log n$, since $S$ is large enough at this moment to be used as an accurate predictor for $n_{d, i}$, and hence also for $n_d$.
Lemma 2. Let $0<\epsilon \leq 1$. DEGTEST $(d, \epsilon)$ (Algorithm 1) approximates $n_d$ within a factor $1+\epsilon$ with high probability, i.e.,
$$
\frac{n_d}{1+\epsilon} \leq \operatorname{DEGTEST}(d, \epsilon) \leq(1+\epsilon) n_d,
$$
and uses $\mathrm{O}\left(\frac{1}{\epsilon^2} \log ^2 n\right)$ bits of space.
For space reasons, we defer the proof of this Lemma to the full version of this paper and only give a brief outline here. We say that the algorithm is in phase $i$ if the current value of $p$ is $p=1 /\left(1+\epsilon^{\prime}\right)^i$.
组合优化代考
数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Chordal Graphs
在本节中，我们将考虑弦图并刻画那些有联系的图乙0-VPG。首先，让我们指出以下重要观察结果。
观察 3. 弦接触乙0−在PG图是块图。
这直接来自引理 1 和块图的定义。
以下引理陈述了最小弦非接触的一个重要性质乙0-VPG 图既不包含钾5也不钾4-和。
引理 2. 让G和弦\left{K_5, K_4\right.$-e $}\left{K_5, K_4\right.$-e $}- 免费图表。如果G是最小的非接触乙0-VPG 图，然后是的每个单纯顶点G度数刚好是三。
证明。自从G是钾5-免费，每个小团体G最多有四个大小。因此，每个单纯顶点的度数至多为 3。让在是一个简单的顶点G. 首先假设在拥有一级学位并考虑联系乙0-VPG表示G−在（存在于G是最小的非接触乙0−在PG). 让在成为独特的邻居在在G. 不失一般性，我们可以假设路径P在位于网格的某一行。现在清楚了，我们可以在网格的任意两个连续顶点之间添加一个额外的列P在并在不更改交叉点的情况下调整所有路径（如果在列之间添加新列是一世和是一世+1, wè 扩展所有包含 grid-êdgee 的路径，端点在列中是一世和是一世+1以这样一种方式，它们在同一行和列之间包含新边缘是一世和是一世+2新网格，任何其他路径保持不变）。但是我们可以添加一个路径来表示在在这只相交的专栏上P在（如有必要，向网格添加一行并再次调整路径）因此，我们获得了联系乙0VPG表示法G，矛盾。所以现在假设在有二度，再次考虑接触乙0−在PG表示G−在.
数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Algorithm in the Vertex-Arrival Model
我们先给出一个算法， $\operatorname{Deg} \operatorname{TEsT}(d, \epsilon)$, 它很有可能返回一个 $(1+\epsilon)$-近似值 $n_d$ 使用 $\mathrm{O}\left(\frac{1}{\epsilon^2} \log ^2 n\right)$ 位 的空间。在算法的描述中，我们假设我们有一个随机函数 COIN: $[0,1] \rightarrow$ \$false,true\$这样 $\operatorname{COIN}(p)=$ 概率为真 $p$ 和 $\operatorname{COIN}(p)=$ 假的概率 $1-p$. 此外，重复调用 COIN 的输出是独立的。
算法测试 $(d, \epsilon)$ 维护样本 $S$ 至多 $c \log n$ 顶点。它确保所有顶点 $v \in S$ 最多有学位 $d$ 在当前图表中 $G_i$ (注意 \$\operatorname{deg $\left{G_{-} i\right}(v) \backslash$ leq $\backslash$ loperatorname ${$ deg $\left.}\left{G_{-}\right}\right}(v)$, forevery $\left.j \backslash g e q ~ i\right)$. Initially, $p=1$ , andallverticesofdegreeatmost darestoredin小号. Whenever小号reachesthelimitingsizeof c〈日志n, wedownsample小号byremovingeveryelementof 小号withprobability $\backslash$ frac ${1}$ ${1+\backslash$ epsilon^{prime $}$ andupdatep $\backslash$ leftarrow $\mathrm{p} \wedge$ left $(1+\backslash$ lepsilon^^prime $} \backslash$ right $)$ .Thisguaranteesthatthroughoutthealgorithm小号 constitutesauniformrandomsampleofallverticesofdegreeatmost $\mathrm{din} \mathrm{G}{\mathrm{G}} \mathrm{i}$ .Thealgorithmoutputsm \eftarrow $\mathrm{c} \backslash \mathrm{log}(\mathrm{n}) /$ pastheestimateforn_d, where $\mathrm{p}$ isthesmallestvalueof pthatoccursduringthecourseofthealgorithm. Itisupdatedwhenever 小号reachesthesized日志 $n$, since小号 islargeenoughatthismomenttobeusedasanaccuratepredictorforn{d, i}, andhencealsofor $n_{-} d \$$
引理 2. 让 $0<\epsilon \leq 1$. 日间测试 $(d, \epsilon)$ (算法 1) 近似 $n_d$ 在一个因素内 $1+\epsilon$ 很有可能，即
$$
\frac{n_d}{1+\epsilon} \leq \operatorname{DEGTEST}(d, \epsilon) \leq(1+\epsilon) n_d
$$
并使用 $\mathrm{O}\left(\frac{1}{\epsilon^2} \log ^2 n\right)$ 位的空间。
由于篇幅原因，我们将这个引理的证明推迟到本文的完整版本，这里只给出一个简要的概述。我们说算 法是同相的 $i$ 如果当前值 $p$ 是 $p=1 /\left(1+\epsilon^{\prime}\right)^i$.
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