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机器学习代考_Machine Learning代考_Theoretical justification
Data augmentation often significantly improves performance (predictive accuracy, robustness, etc). At first this might seem like we are getting something for nothing, since we have not provided additional data. However, the data augmentation mechanism can be viewed as a way to algorithmically inject prior knowledge.
To see this, recall that in standard ERM training, we minimize the empirical risk
$$
R(f)=\int \ell(f(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{y}) p^(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) d \boldsymbol{x} d \boldsymbol{y} $$ where we approximate $p^(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$ by the empirical distribution
$$
p_{\mathcal{D}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N \delta\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}n\right) \delta\left(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{y}_n\right) $$ We can think of data augmentation as replacing the empirical distribution with the following algorithmically smoothed distribution $$ p{\mathcal{D}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \mid A)=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N p\left(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{x}_n, A\right) \delta\left(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{y}_n\right)
$$
where $A$ is the data augmentation algorithm, which generates a sample $\boldsymbol{x}$ from a training point $\boldsymbol{x}_n$, such that the label (“semantics”) is not changed. (A very simple example would be a Gaussian kernel, $p\left(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{x}_n, A\right)=\mathcal{N}\left(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{x}_n, \sigma^2 \mathbf{I}\right)$.) This has been called vicinal risk minimization [Cha $\left.+01\right]$, since we are minimizing the risk in the vicinity of each training point $\boldsymbol{x}$. For more details on this perspective, see [Zha+17b; CDL19; Dao+19].
机器学习代考_Machine Learning代考_Fine-tuning
Suppose, for now, that we already have a pretrained classifier, $p\left(y \mid x, \boldsymbol{\theta}_p\right)$, such as a CNN, that works well for inputs $\boldsymbol{x} \in \mathcal{X}_p$ (e.g. natural images) and outputs $y \in \mathcal{Y}_p$ (e.g., ImageNet labels), where the data comes from a distribution $p(\boldsymbol{x}, y)$ similar to the one used in training. Now we want to create a new model $q\left(y \mid \boldsymbol{x}, \boldsymbol{\theta}_q\right)$ that works well for inputs $\boldsymbol{x} \in \mathcal{X}_q$ (e.g. bird images) and outputs $y \in \mathcal{Y}_q$ (e.g., fine-grained bird labels), where the data comes from a distribution $q(\boldsymbol{x}, y)$ which may be different from $p$.
We will assume that the set of possible inputs is the same, so $\mathcal{X}_q \approx \mathcal{X}_p$ (e.g., both are RGB images), or that we can easily transform inputs from domain $p$ to domain $q$ (e.g., we can convert an RGB image to grayscale by dropping the chrominance channels and just keeping luminance). (If this is not the case, then we may need to use a method called domain adaptation, that modifies models to map between modalities, as discussed in Section 19.2.5.)
However, the output domains are usually different, i.e., $\mathcal{Y}_q \neq \mathcal{Y}_p$. For example, $\mathcal{Y}_p$ might be Imagenet labels and $\mathcal{Y}_q$ might be medical labels (e.g., types of diabetic retinopathy [Arc $\left.+19\right]$ ). In this case, we need to “translate” the output of the pre-trained model to the new domain. This is easy to do with neural networks: we simply “chop off” the final layer of the original model, and add a new “head” to model the new class labels, as illustrated in Figure 19.2. For example, suppose $p\left(y \mid \boldsymbol{x}, \boldsymbol{\theta}_p\right)=\mathcal{S}\left(y \mid \mathbf{W}_2 \boldsymbol{h}\left(\boldsymbol{x} ; \boldsymbol{\theta}_1\right)+\boldsymbol{b}_2\right)$, where $\boldsymbol{\theta}_p=\left(\mathbf{W}_2, \boldsymbol{b}_2, \boldsymbol{\theta}_1\right)$. Then we can construct $q\left(y \mid \boldsymbol{\theta}_q\right)=\mathcal{S}\left(y \mid \mathbf{W}_3 \boldsymbol{h}\left(\boldsymbol{x} ; \boldsymbol{\theta}_1\right)+\boldsymbol{b}_3\right)$, where $\boldsymbol{\theta}_q=\left(\mathbf{W}_3, \boldsymbol{b}_3, \boldsymbol{\theta}_1\right)$ and $\boldsymbol{h}\left(\boldsymbol{x} ; \boldsymbol{\theta}_1\right)$ is the shared nonlinear feature extractor.
After performing this “model surgery”, we can fine-tune the new model with parameters $\theta_q=$ $\left(\boldsymbol{\theta}_1, \boldsymbol{\theta}_3\right)$, where $\boldsymbol{\theta}_1$ parameterizes the feature extractor, and $\boldsymbol{\theta}_3$ parameterizes the final linear layer that maps features to the new set of labels. If we treat $\theta_1$ as “frozen parameters”, then the resulting model $q\left(y \mid \boldsymbol{x}, \boldsymbol{\theta}_q\right)$ is linear in its parameters, so we have a convex optimization problem for which many simple and efficient fitting methods exist (see Part II). This is particularly helpful in the long-tail setting, where some classes are very rare [Kan $+20]$. However, a linear “decoder” may be too limiting, so we can also allow $\boldsymbol{\theta}_1$ to be fine-tuned as well, but using a lower learning rate, to prevent the values moving too far from the values estimated on $\mathcal{D}_p$.
机器学习代考
机器学习代考_Machine Learning代考_Theoretical justification
数据增强通常会显着提高性能 (预测准确性、稳健性等)。乍一看，这似乎是我们不劳而获，因为我们 没有提供额外的数据。然而，数据增强机制可以被视为一种通过算法注入先验知识的方式。 要看到这一点，回想一下在标准 ERM 培训中，我们将经验风险最小化
$$
\left.R(f)=\int \ell(f(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{y}) p^{(\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{y}\right) d \boldsymbol{x} d \boldsymbol{y}
$$
我们近似的地方 $p(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$ 通过经验分布
$$
p_{\mathcal{D}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N \delta(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x} n) \delta\left(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{y}n\right) $$ 我们可以将数据增强视为用以下算法平滑分布代替经验分布 $$ p \mathcal{D}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \mid A)=\frac{1}{N} \sum{n=1}^N p\left(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{x}_n, A\right) \delta\left(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{y}_n\right)
$$
在哪里 $A$ 是数据增强算法，生成样本 $\boldsymbol{x}$ 从训练点 $\boldsymbol{x}_n$ ，这样标签（”语义”) 就不会改变。（一个非常简单 的例子是高斯核， $p\left(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{x}_n, A\right)=\mathcal{N}\left(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{x}_n, \sigma^2 \mathbf{I}\right)$.) 这被称为邻近风险最小化 [Cha $\left.+01\right]$ ，因为我们 正在最小化每个训练点附近的风险 $\boldsymbol{x}$. 有关此观点的更多详细信息，请参阅 [Zha+17b; CDL19；道+19]。
机器学习代考_Machine Learning代考_Fine-tuning
假设，现在，我们已经有了一个预训练的分类器， $p\left(y \mid x, \boldsymbol{\theta}_p\right)$ ，例如 CNN，适用于输入 $\boldsymbol{x} \in \mathcal{X}_p$ (例如 自然图像) 和输出 $y \in \mathcal{Y}_p$ (例如，ImageNet 标签) ，其中数据来自分布 $p(\boldsymbol{x}, y)$ 类似于训练中使用的那 个。现在我们要创建一个新模型 $q\left(y \mid \boldsymbol{x}, \boldsymbol{\theta}_q\right)$ 这对输入很有效 $\boldsymbol{x} \in \mathcal{X}_q$ (例如鸟类图像) 和输出 $y \in \mathcal{Y}_q$ (例如，细粒度的鸟类标签)，其中数据来自分布 $q(\boldsymbol{x}, y)$ 这可能不同于 $p$.
我们将假设可能的输入集是相同的，所以 $\mathcal{X}_q \approx \mathcal{X}_p$ (例如，两者都是 RGB 图像)，或者我们可以轻松 地转换来自领域的输入 $p$ 域 $q$ (例如，我们可以通过删除色度通道并仅保持亮度来将 RGB 图像转换为灰度 图像)。(如果不是这种情况，那么我们可能需要使用一种称为域适应的方法，该方法修改模型以在模 态之间进行映射，如第 $19.2 .5$ 节所述。)
但是，输出域通常不同，即 $\mathcal{Y}_q \neq \mathcal{Y}_p$. 例如， $\mathcal{Y}_p$ 可能是 Imagenet 标签和 $\mathcal{Y}_q$ 可能是医学标签 (例如，糖 尿病视网膜病变的类型 $[A r c+19]$ ). 在这种情况下，我们需要将预训练模型的输出”魦译”到新领域。这对 于神经网络很容易做到：我们只需“砍掉”原始模型的最后一层，并添加一个新的“头“来为新的类标签建 模，如图 19.2 所示。例如，假设 $p\left(y \mid \boldsymbol{x}, \boldsymbol{\theta}_p\right)=\mathcal{S}\left(y \mid \mathbf{W}_2 \boldsymbol{h}\left(\boldsymbol{x} ; \boldsymbol{\theta}_1\right)+\boldsymbol{b}_2\right)$ ， 在哪里 $\boldsymbol{\theta}_p=\left(\mathbf{W}_2, \boldsymbol{b}_2, \boldsymbol{\theta}_1\right)$. 然后我们可以构建 $q\left(y \mid \boldsymbol{\theta}_q\right)=\mathcal{S}\left(y \mid \mathbf{W}_3 \boldsymbol{h}\left(\boldsymbol{x} ; \boldsymbol{\theta}_1\right)+\boldsymbol{b}_3\right)$ ， 在哪里 $\boldsymbol{\theta}_q=\left(\mathbf{W}_3, \boldsymbol{b}_3, \boldsymbol{\theta}_1\right)$ 和 $\boldsymbol{h}\left(\boldsymbol{x} ; \boldsymbol{\theta}_1\right)$ 是共享的非线性特征提取器。
执行此”模型手术”后，我们可以使用参数微调新模型 $\theta_q=\left(\theta_1, \theta_3\right)$ ，在哪里 $\theta_1$ 参数化特征提取器，并且 $\theta_3$ 参数化将特征映射到新标签集的最終线性层。如果我们治疗 $\theta_1$ 作为”冻结参数“，然后是生成的模型 $q\left(y \mid \boldsymbol{x}, \boldsymbol{\theta}_q\right)$ 是线性的，所以我们有一个凸优化问题，存在许多简单有效的拟合方法 (见第二部分)。 这在长尾设置中特别有用，其中有些类非常罕见 [Kan+20]. 然而，线性”解码器“可能限制太多，所以我 们也可以允许 $\boldsymbol{\theta}_1$ 也要进行微调，但使用较低的学习率，以防止值与估计值相差太远 $\mathcal{D}_p$.
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