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线性代数代考_linear algebra代考_CALCULATION OF THE INVERSE WITH THE GAUSSIAN ALGORITHM

Suppose we have an invertible matrix $A$, and we want to compute its inverse. Consider the matrix:
$$
M=(A \mid I)
$$
obtained by putting the identity matrix next to $A$. Then, through elementary operations on the rows of the matrix $M$, we can get the identity matrix on the left-hand side. We briefly indicate the procedure and then we will clarify it with examples.
We already know how to get a matrix $C$ in row echelon form and, as the elementary row operations preserve the rank and the matrix $A$ is invertible, the matrix $C$ will have exactly $n$ pivots. Dividing each row by a suitable number, we can assume that all the pivots of $C$ are equal to 1 . We then proceed from “bottom” up, using the last pivot and appropriate elementary operations on rows to obtain a new matrix where the last pivot is 1 and in its column there are all zeros except for the last pivot itself. Then we move to the pivot before the last and perform the same procedure, until in the end the matrix on the left hand side of $M$ is the identity matrix. At this point, the matrix that appears to the right is the inverse matrix of $A$. We will not prove this procedure, but we will give examples.
Example 7.5.1 Consider the matrix
$$
A=\left(\begin{array}{ll}
1 & 3 \
1 & 4
\end{array}\right) .
$$
To compute the inverse, we must apply the Gaussian algorithm to the matrix:
$$
\left(\begin{array}{ll|ll}
1 & 3 & 1 & 0 \
1 & 4 & 0 & 1
\end{array}\right) .
$$
We carry out the following elementary operation: 2 nd row $\rightarrow$ nd row – 1st row, and we get:
$$
\left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 3 & 1 & 0 \
0 & 1 & -1 & 1
\end{array}\right)
$$

线性代数代考_linear algebra代考_THE LINEAR MAPS FROM

Now that we have introduced the concept of determinant and inverse of a matrix, we can give an important result that allows us to characterize invertible linear transformations from $\mathbb{R}^n$ to $\mathbb{R}^n$.

Theorem 7.6.1 Let $F: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^n$ be a linear map, and let $A$ be the matrix associated to $F$ with respect to the canonical basis (in the domain and codomain). The following statements are equivalent.

1. $F$ is an isomorphism.
2. $F$ is injective.
3. $F$ is surjective.
4. $\operatorname{dim}(\operatorname{Im}(F))=n$.
5. $\operatorname{rk}(A)=n$.
6. The columns of $A$ are linearly independent.
7. The rows of $A$ are linearly independent.
8. The system $A \mathrm{x}=0$ has a unique solution.
9. For every $\mathbf{b} \subset \mathbb{R}^n$ the system $A \mathrm{x}=\mathrm{b}$ has a unique solution.
10. A is invertible.
11. The determinant of $A$ is not zero.
    Proof. By Proposition 5.5.2, we immediately have the equivalence between (1), (2), (3). We now show that the statements (3) through (9) are equivalent, showing that each of them implies the next and then that (9) implies (2). We will show then, finally, that (1), (10), (11) are equivalent.
    (3) implies (4), because if $F$ is surjective, then $\operatorname{Im} F=\mathbb{R}^n$ has dimension $n$.
    (4) implies (5), because $\operatorname{rk}(A)=\operatorname{dim}(\operatorname{Im}(F))$, by Observation $6.2 .2$.
    (5) implies (6), by the definition of rank of a matrix (which is in particular is the column rank).

线性代数代考

线性代数代考_linear algebra代考_CALCULATION OF THE INVERSE WITH THE GAUSSIAN ALGORITHM

假设我们有一个可逆矩阵 $A_{｝ \text { 涐们想计算它的倒数。考虑矩阵: }$
$$
M=(A \mid I)
$$
通过将单位矩阵放在旁边获得 $A$. 然后，通过对矩阵行的初等运算 $M$ ，我们可以得到左侧的单位矩阵。我 们简要说明程序，然后我们将通过示例对其进行说明。
我们已经知道如何得到一个矩阵 $C$ 以行阶梯形式，并且作为基本行操作保留秩和矩阵 $A$ 是可逆的，矩阵 $C$ 将有确切的 $n$ 支点。将每一行除以一个合适的数字，我们可以假设所有的枢轴 $C$ 等于 1。然后我们从 “自下而上”开始，使用最后一个主元和对行进行适当的初等运算来获得一个新矩阵，其中最后一个主元 为 1 ，并且在其列中除了最后一个主元本身之外全为霩。然后我们移动到最后一个之前的枢轴并执行相 同的过程，直到最后在左侧的矩阵 $M$ 是单位矩阵。此时，右边出现的矩阵就是 $A$. 我们不会证明这个过 程，但我们会给出例子。
示例 $7.5 .1$ 考虑矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{llll}
1 & 3 & 1 & 4
\end{array}\right) .
$$
要计算逆，我们必须对矩阵应用高斯算法:
$$
\left(\begin{array}{ll|llllll}
1 & 3 & 1 & 0 & 1 & 4 & 0 & 1
\end{array}\right) .
$$
我们执行以下基本操作: 第 2 行 $\rightarrow$ nd row – 第一行，我们得到:
$$
\left(\begin{array}{cc|cccccc}
1 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1
\end{array}\right)
$$

线性代数代考_linear algebra代考_THE LINEAR MAPS FROM

现在我们已经介绍了矩阵的行列式和逆矩阵的概念，我们可以给出一个重要的结果，使我们能够表征可 逆线性变换 $\mathbb{R}^n$ 至 $\mathbb{R}^n$.
定理 7.6.1 让 $F: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^n$ 是一个线性映射，让 $A$ 是关联的矩阵 $F$ 关于规范基础（在域和共域中）。 以下语句是等效的。

1. $F$ 是一个同构。
2. $F$ 是单射的。
3. $F$ 是满射的。
4. $\operatorname{dim}(\operatorname{Im}(F))=n$.
5. $\operatorname{rk}(A)=n$.
6. 列的 $A$ 是线性独立的。
7. 的行 $A$ 是线性独立的。
8. 系统 $A \mathrm{x}=0$ 有唯一解。
9. 对于每一个 $\mathbf{b} \subset \mathbb{R}^n$ 系统 $A \mathbf{x}=\mathrm{b}$ 有唯一解。
10. $\mathrm{A}$ 是可逆的。
11. 的行列式 $A$ 不为零。
    证明。根据命题 5.5.2，我们立即得到 (1)、(2)、(3) 之间的等价性。我们现在证明陈述 (3) 到 (9) 是等 价的，表明它们中的每一个都蕴含下一个，然后 (9) 蕴含 (2)。最后，我们将证明 (1)、(10)、(11) 是等 价的。
    (3) 蕴含 (4)，因为如果 $F$ 是满射的，那么 $\operatorname{Im} F=\mathbb{R}^n$ 有维度 $n$.
    (4) 蕴含 (5)， 因为 $r k(A)=\operatorname{dim}(\operatorname{Im}(F))$ ，通过观察 $6.2 .2$.
    (5) 暗示 (6)，根据矩阵秩的定义 (特别是列秩)。

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