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线性代数代考_linear algebra代考_DEFINITION OF DETERMINANT
The concepts of linear algebra introduced so far are not sufficient to give a direct definition of the determinant. Hence, we shall introduce the determinant with an indirect definition and then we will compute it in some special cases, which will prove to be the most significant for us, and finally we will arrive at an algorithmic method to compute it in general.
Let $A$ be a square matrix, i.e. an $n \times n$ matrix. We want to associate to it a real number, called determinant of $A$, which is calculated starting from the elements of the matrix $A$. The definition we give is apparently not a constructive one, however, we will see that, starting from simple rules, we can calculate the determinant of a matrix.
Before we begin, it is necessary to introduce the definition of the identity matrix.
Definition 7.1.1 The identity matrix or identity matrix of order $n$, is the $n \times n$ matrix having all the elements of the main diagonal equal to the number 1 , while the remaining elements are equal to 0 . Usually it is indicated with $I_r$, or with $I$, if there are no ambiguities.
For example, the identity matrix of order 3 is:
$$
I=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
$$
Definition 7.1.2 The determinant of a square matrix $A$ of order $n$ is a real number, denoted by $\operatorname{det}(A)$, with the following properties:
- If the $j$-th row of $A$ is the sum of two elements $\mathbf{u}$ and $\mathbf{v}$ of $\mathbb{R}^n$, then the determinant of $A$ is the sum of the determinants of the two matrices obtained by replacing the $j$-th row of $A$ with $\mathbf{u}$ and $\mathbf{v}$, respectively.
线性代数代考_linear algebra代考_CALCULATING THE DETERMINANT
For $2 \times 2$ and $3 \times 3$ matrices, there are simple formulas for the calculation of the determinant.
We begin by examining the case of $2 \times 2$ matrices. Let $A$ be the matrix:
$$
A=\left(\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \
u_{21} & u_{22}
\end{array}\right) .
$$
We proceed with the algorithm we explained above, considering two cases.
Case 1 . Suppose first that $a_{11} \neq 0$. In this case, we make the following elementary operation:
- $2 \mathrm{nd}$ row $\rightarrow 2 \mathrm{nd}$ row $-\frac{a_{21}}{a_{11}} \cdot 1$ st row.
In this way, by Proposition 7.1.4 (b), the determinant does not change and we obtain the triangular matrix:
$$
\left(\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \
0 & a_{22}-\frac{a_{21}}{a_{11}} \cdot a_{12}
\end{array}\right) .
$$
Now we simply take the product of the diagonal coefficients and we have that:
$$
\operatorname{det}(A)=a_{11} \cdot\left(a_{22}-\frac{a_{21}}{a_{11}} \cdot a_{12}\right)=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} .
$$
Case 2. Suppose $a_{11}=0$. We exchange the first and the second row; the determinant changes sign, and we get:
$$
\left(\begin{array}{cc}
a_{21} & a_{22} \
0 & a_{12}
\end{array}\right) .
$$
线性代数代考
线性代数代考_linear algebra代考_DEFINITION OF DETERMINANT
到目前为止介绍的线性代数概念不足以给出行列式的直接定义。因此，我们将引入具有间接定义的行列 式，然后我们将在一些特殊情况下计算它，这将被证明对我们来说是最重要的，最后我们将得出一种算 法方法来计算它。
让 $A$ 是一个方阵，即 $n \times n$ 矩阵。我们想给它关联一个实数，称为行列式 $A$ ，从矩阵的元素开始计算 $A$. 我 们给出的定义显然不是一个有建设性的定义，但是，我们将看到，从简单的规则开始，我们可以计算矩 阵的行列式。
在开始之前，有必要介绍一下单位矩阵的定义。
定义 7.1.1 阶的单位矩阵或单位矩阵 $n$ ，是个 $n \times n$ 主对角线的所有元责都等于数字 1 的矩阵，而其余元 溸等于 0 。通常用 $I_r$ ，或与 $I$ ，如果没有歧义。
例如，3 阶单位矩阵为:
$$
I=\left(\begin{array}{lllllllll}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
$$
定义 7.1.2 方阵的行列式 $A$ 秩序 $n$ 是实数，记为 $\operatorname{det}(A)$ ，具有以下風性:
- 如果 $j$-第行 $A$ 是两个元嫊的和 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 的 $\mathbb{R}^n$ ，那么行列式 $A$ 是通过替换得到的两个矩阵的行列式之和 $j$-第 行 $A$ 和 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ ，分别。
线性代数代考_linear algebra代考_CALCULATING THE DETERMINANT
为了 $2 \times 2$ 和 $3 \times 3$ 矩阵，有用于计算行列式的简单公式。
我们首先检查以下情况 $2 \times 2$ 矩阵。让 $A$ 是矩阵:
$$
A=\left(\begin{array}{llll}
a_{11} & a_{12} & u_{21} & u_{22}
\end{array}\right) .
$$
我们继续使用上面解释的算法，考虑两种情况。
情况1。首先假设 $a_{11} \neq 0$. 在这种情况下，我们进行以下基本操作:
- 2nd排 $\rightarrow 2 \mathrm{nd}$ 排 $-\frac{a_{21}}{a_{11}} \cdot 1$ 街道。
这样，根据命题7.1.4(b)，行列式不变，得到三角矩阵:
$$
\left(\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} 0 & a_{22}-\frac{a_{21}}{a_{11}} \cdot a_{12}
\end{array}\right) .
$$
现在我们简单地取对角系数的乘积，我们有:
$$
\operatorname{det}(A)=a_{11} \cdot\left(a_{22}-\frac{a_{21}}{a_{11}} \cdot a_{12}\right)=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} .
$$
情况 2 . 假设 $a_{11}=0$. 我们交换第一行和第二行; 行列式改变符号，我们得到:
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