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计算机代写|计算机图形学代写computer graphics代考|The Trigonometric Ratios
Ancient civilisations knew that triangles-whatever their size-possessed some inherent properties, especially the ratios of sides and their associated angles. This means that if these ratios are known in advance, problems involving triangles with unknown lengths and angles, can be discovered using these ratios.
Figure $4.2$ shows a point $P$ with coordinates (base, height), on a unit-radius circle rotated through an angle $\theta$. As $P$ is rotated, it moves into the 2nd quadrant, 3 rd quadrant, 4th quadrant and returns back to the first quadrant. During the rotation, the sign of height and base change as follows:
$\begin{array}{ll}\text { 1st quadrant: } & \text { height }(+) \text {, base }(+) \ \text { 2nd quadrant: } & \text { height }(+) \text {, base }(-) \ \text { 3rd quadrant: } & \text { height }(-) \text {, base }(-) \ \text { 4th quadrant: } & \text { height }(-) \text {, base }(+) \text {. }\end{array}$
Figures $4.3$ and $4.4$ plot the changing values of height and base over the four quadrants, respectively. When radius $=1$, the curves vary between 1 and $-1$. In the context of triangles, the sides are labelled as follows:
$$
\begin{aligned}
\text { hypotenuse } &=\text { radius } \
\text { opposite } &=\text { height } \
\text { adjacent } &=\text { base } .
\end{aligned}
$$
Thus, using the right-angle triangle shown in Fig. 4.5, the trigonometric ratios: sine, cosine and tangent are defined as
$$
\sin \theta=\frac{\text { opposite }}{\text { hypotenuse }}, \quad \cos \theta=\frac{\text { adjacent }}{\text { hypotenuse }}, \quad \tan \theta=\frac{\text { opposite }}{\text { adjacent }} .
$$
计算机代写|计算机图形学代写computer graphics代考|Inverse Trigonometric Ratios
The functions $\sin \theta, \cos \theta, \tan \theta, \csc \theta, \sec \theta$ and $\cot \theta$ provide different ratios for the angle $\theta$, and the inverse trigonometric functions convert a ratio back into an angle. Theses aree arcsinh, arccoos, arctann, arccscc, arcsēc ānd arccot, and aree sometimes writteñ as $\sin ^{-1}, \cos ^{-1}, \tan ^{-1}, \csc ^{-1}, \sec ^{-1}$ and $\cot ^{-1}$. For example, $\sin 30^{\circ}=0.5$, therefore, $\arcsin 0.5=30^{\circ}$. Consequently, the domain for arcsin is the range for sin:
$$
[-1,1]
$$
and the range for $\arcsin$ is the domain for sin:
$$
\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
$$
as shown in Fig. 4.8. Similarly, the domain for arccos is the range for cos:
$$
[-1,1]
$$
and the range for arccos is the domain for $\cos$ :
$$
\lfloor 0, \pi\rfloor
$$
as shown in Fig. 4.9.
The domain for arctan is the range for tan:
$$
]-\infty, \infty[
$$
and the range for arctan is the domain for tan:
$$
]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[
$$
as shown in Fig. $4.10$.
Various programming languages include the atan2 function, which is an arctan function with two arguments: $\operatorname{atan} 2(y, x)$. The signs of $x$ and $y$ provide sufficient information to locate the quadrant containing the angle, and gives the atan 2 function a range of $[0,2 \pi]$.
计算机图形学代考
计算机代写|计算机图形学代写computer graphics代考|The Trigonometric Ratios
古代文明知道三角形—一无论其大小如何一一都具有一些固有属性，尤其是边长比及其相关角度。这意 味着如果事先知道这些比率，则可以使用这些比率发现涉及末知长度和角度的三角形的问题。
数字 $4.2$ 显示一个点 $P$ 坐标 (底面、高度)，在旋转一个角度的单位半径圆上 $\theta$. 作为 $P$ 旋转，它移动到第 2 象限、第 3 象限、第 4 象限并返回到第 1 象限。在旋转过程中，高度和底边的符号变化如下:
1st quadrant: height $(+)$, base (+) 2nd quadrant: height $(+)$, base (-) 3rd quadrant: 数字 $4.3$ 和 $4.4$ 分别在四个象限上绘制高度和底部的变化值。当半径 $=1$ ，曲线在 1 和 $-1$. 在三角形的上 下文中，边标记如下:
$$
\text { hypotenuse }=\text { radius opposite }=\text { height adjacent }=\text { base } \text {. }
$$
因此，使用图 $4.5$ 中所示的直角三角形，三角比：正弦、余弦和正切定义为
$$
\sin \theta=\frac{\text { opposite }}{\text { hypotenuse }}, \quad \cos \theta=\frac{\text { adjacent }}{\text { hypotenuse }}, \quad \tan \theta=\frac{\text { opposite }}{\text { adjacent }} .
$$
计算机代写|计算机图形学代写computer graphics代考|Inverse Trigonometric Ratios
功能 $\sin \theta, \cos \theta, \tan \theta, \csc \theta, \sec \theta$ 和 $\cot \theta$ 为角度提供不同的比率 $\theta$ ，反三角函数将比率转换回角度。这 些论文是 arcsinh、arccoos、arctann、arccscc、arcsēc 和 arccot，有时写为 $\sin ^{-1}, \cos ^{-1}, \tan ^{-1}, \csc ^{-1}, \sec ^{-1}$ 和 $\cot ^{-1}$. 例如， $\sin 30^{\circ}=0.5$ ， 所以， $\arcsin 0.5=30^{\circ}$. 因此， $\arcsin$ 的域是 $\sin$ 的范围:
和范围 $\arcsin$ 是罪域:
$$
\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
$$
如图 $4.8$ 所示。同样， arccos 的域是 $\cos$ 的范围:
$$
[-1,1]
$$
$\arccos$ 的范围是 $\cos$ :
$$
\lfloor 0, \pi\rfloor
$$
如图 $4.9$ 所示。
$\arctan$ 的域是 $\tan$ 的范围:
$$
]-\infty, \infty[
$$
$\arctan$ 的范围是 $\tan$ 的定义域:
$$
]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[
$$
如图所示 $4.10$.
各种编程语言都包含 $\operatorname{atan} 2$ 函数，它是一个菷有两个参数的反正切函数： $\operatorname{atan} 2(y, x)$. 的迹象 $x$ 和 $y$ 提供 足够的信息来定位包含角度的象限，并为 $\operatorname{atan} 2$ 函数提供一个范围 $[0,2 \pi]$.
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