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计算机代写|计算机图形学代写computer graphics代考|Compound-Angle Identities

Trigonometric identities are useful for solving various mathematical problems, but apart from this, their proof often contains a strategy that can be used else where. In the first example, watch out for the technique of multiplying by 1 in the form of a ratio, and swapping denominators. The technique is rather elegant and suggests that the result was known in advance, which probably was the case. Let’s begin by finding a way of representing $\sin (\alpha+\beta)$ in terms of $\sin \alpha, \cos \alpha, \sin \beta, \cos \beta$.
With reference to $\mathrm{Fig} .4 .12$ :
$$
\begin{aligned}
\sin (\alpha+\beta) &=\frac{F D}{A D}=\frac{B C+E D}{A D} \
&=\frac{B C}{A D} \frac{A C}{A C}+\frac{E D}{A D} \frac{C D}{C D} \
&=\frac{B C}{A C} \frac{A C}{A D}+\frac{E D}{C D} \frac{C D}{A D} \
\sin (\alpha+\beta) &=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta
\end{aligned}
$$
To find $\sin (\alpha-\beta)$, reverse the sign of $\beta$ in (4.1):
$$
\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta .
$$
Now let’s expand $\cos (\alpha+\beta)$ with reference to Fig. 4.12:
$$
\begin{aligned}
\cos (\alpha+\beta) &=\frac{A E}{A D}=\frac{A B-E C}{A D} \
&=\frac{A B}{A D} \frac{A C}{A C}-\frac{E C}{A D} \frac{C D}{C D} \
&=\frac{A B}{A C} \frac{A C}{A D}-\frac{E C}{C D} \frac{C D}{A D} \
\cos (\alpha+\beta) &=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta
\end{aligned}
$$

计算机代写|计算机图形学代写computer graphics代考|Double-Angle Identities

By making $\beta=\alpha$, the three compound-angle identities
$$
\begin{aligned}
\sin (\alpha \pm \beta) &=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \
\cos (\alpha \pm \beta) &=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \
\tan (\alpha \pm \beta) &=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}
\end{aligned}
$$
provide the starting point for deriving three corresponding double-angle identities:
$$
\begin{aligned}
\sin (\alpha \pm \alpha) &=\sin \alpha \cos \alpha \pm \cos \alpha \sin \alpha \
\sin (2 \alpha) &=2 \sin \alpha \cos \alpha .
\end{aligned}
$$
Similarly,
$$
\begin{aligned}
\cos (\alpha \pm \alpha) &=\cos \alpha \cos \alpha \mp \sin \alpha \sin \alpha \
\cos (2 \alpha) &=\cos ^2 \alpha-\sin ^2 \alpha
\end{aligned}
$$
which can be further simplified using $\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha=1$ :

$$
\begin{aligned}
&\cos (2 \alpha)=\cos ^2 \alpha-\sin ^2 \alpha \
&\cos (2 \alpha)=2 \cos ^2 \alpha-1 \
&\cos (2 \alpha)=1-2 \sin ^2 \alpha .
\end{aligned}
$$
And for $\tan (2 \alpha)$, we have:
$$
\begin{aligned}
\tan (\alpha \pm \alpha) &=\frac{\tan \alpha \pm \tan \alpha}{1 \mp \tan \alpha \tan \alpha} \
\tan (2 \alpha) &=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^2 \alpha}
\end{aligned}
$$

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计算机代写|计算机图形学代写computer graphics代考|Compound-Angle Identities

三角恒等式对于解决各种数学问题很有用,但除此之外,它们的证明通常包含一种可以在其他地方使用 的策略。在第一个示例中,注意以比率形式乘以 1 并交换分母的技巧。该技术相当优雅,表明结果是事 先已知的,可能就是这种情况。让我们从寻找一种表示方式开始 $\sin (\alpha+\beta)$ 按照 $\sin \alpha, \cos \alpha, \sin \beta, \cos \beta$.
参考Fig.4.12 :
$$
\sin (\alpha+\beta)=\frac{F D}{A D}=\frac{B C+E D}{A D}=\frac{B C}{A D} \frac{A C}{A C}+\frac{E D}{A D} \frac{C D}{C D}=\frac{B C}{A C} \frac{A C}{A D}+\frac{E D}{C D} \frac{C D}{A D} \sin (\alpha+\beta)
$$
寻找 $\sin (\alpha-\beta)$, 反转符号 $\beta$ 在 (4.1) 中:
$$
\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta .
$$
现在让我们展开 $\cos (\alpha+\beta)$ 参考图 4.12:
$$
\cos (\alpha+\beta)=\frac{A E}{A D}=\frac{A B-E C}{A D}=\frac{A B}{A D} \frac{A C}{A C}-\frac{E C}{A D} \frac{C D}{C D}=\frac{A B}{A C} \frac{A C}{A D}-\frac{E C}{C D} \frac{C D}{A D} \cos (\alpha+\beta)
$$

计算机代写|计算机图形学代写computer graphics代考|Double-Angle Identities

通过制作 $\beta=\alpha \mathrm{~ , 个 复 角 恒 等 式 ~}$
$$
\sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \cos (\alpha \pm \beta) \quad=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \tan (\alpha \pm \beta)
$$
提供推导三个相应的双角恒等式的起点:
$$
\sin (\alpha \pm \alpha)=\sin \alpha \cos \alpha \pm \cos \alpha \sin \alpha \sin (2 \alpha) \quad=2 \sin \alpha \cos \alpha .
$$
相似以驰,
$$
\cos (\alpha \pm \alpha)=\cos \alpha \cos \alpha \mp \sin \alpha \sin \alpha \cos (2 \alpha) \quad=\cos ^2 \alpha-\sin ^2 \alpha
$$
可以使用进一步简化 $\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha=1$ :
$$
\cos (2 \alpha)=\cos ^2 \alpha-\sin ^2 \alpha \quad \cos (2 \alpha)=2 \cos ^2 \alpha-1 \cos (2 \alpha)=1-2 \sin ^2 \alpha .
$$
而对于 $\tan (2 \alpha)$ ,我们有:
$$
\tan (\alpha \pm \alpha)=\frac{\tan \alpha \pm \tan \alpha}{1 \mp \tan \alpha \tan \alpha} \tan (2 \alpha) \quad=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^2 \alpha}
$$

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