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Calculus_微积分_Examples of limits at infinity
The evaluate-approximate-render (EAR) procedure is used for this type of limit as well.
Example 1 Determine $\lim x \rightarrow \infty \frac{2 x+8}{x^3+4 x+2}$. Solution We evaluate the expression at $x=\Omega$ :
$$
\lim x \rightarrow \infty \frac{2 x+8}{x^3+4 x+2}=\frac{2 \Omega+8}{\Omega^3+4 \Omega+2} \quad \approx \frac{2 \Omega}{\Omega^3}=\frac{2}{\Omega^2}=2 \omega^2
$$
The limit is 0 .
The graph of the function with the limit that is taken in example 1 has a horizontal asymptote of $y=0$ (on the right).
Example 2 Evaluate $\lim {x \rightarrow-\infty} \frac{x^2+4}{3 x^2+5 x-9}$ Solution We evaluate the expression at $x=-\Omega$ : $$ \lim x \rightarrow-\infty \frac{x^2+4}{3 x^2+5 x-9}=\frac{(-\Omega)^2+4}{3(-\Omega)^2+5(-\Omega)-9}=\frac{\Omega^2+4}{3 \Omega^2-5 \Omega} $$ The limit is $\frac{1}{3}$. The graph of the function with the limit that is taken in example 2 has a horizontal asymptote of $y=\frac{1}{3}$ (on the left). Example 3 Find the limit: $\lim x \rightarrow \infty \frac{5 x^3-2 x+7}{x^2+7 x-1}$ Solution We evaluate the expression at $x=\Omega$ : $$ \lim {x \rightarrow \infty} \frac{5 x^3-2 x+7}{x^2+7 x-1}=\frac{5 \Omega^3-2 \Omega+7}{\Omega^2+7 \Omega-1} \approx \frac{5 \Omega^3}{\Omega^2}=5 \Omega \doteq \infty
$$
The limit is $\infty$.
Calculus_微积分_Examples of finding asymptotes
Determining whether a function has a horizontal asymptote (or two) is accomplished by checking the limits at infinity. Since $\lim x \rightarrow \infty f(x)$ may be different from $\lim x \rightarrow-\infty f(x)$, both limits should be checked.
Example 5 Find all horizontal asymptotes on the graph of $f(x)=$ $\frac{3 x-7}{4 x+\sqrt[3]{x^3+5 x}}$
Solution We first check the right side by evaluating the limit as $x \rightarrow \infty$
$$
\lim {x \rightarrow \infty} \frac{3 x-7}{4 x+\sqrt[3]{x^3+5 x}}=\frac{3 \Omega-7}{4 \Omega+\sqrt[3]{\Omega^3+5 \Omega}} \quad \approx \frac{3 \Omega}{4 \Omega+\sqrt[3]{\Omega^3}}=\frac{3}{4 \Omega} $$ The function has a horizontal asymptote on the right, $y=\frac{3}{5}$. We also need to check the left side to see if the result is different. We therefore evaluate the limit as $x \rightarrow-\infty$ : $$ \lim {x \rightarrow-\infty} \frac{3 x-7}{4 x+\sqrt[3]{x^3+5 x}}=\frac{3(-\Omega)-7}{4(-\Omega)+\sqrt[3]{(-\Omega)^3+5(-\Omega)}} \quad=\frac{}{-4 \Omega}
$$
The function has a horizontal asymptote of $y=\frac{3}{5}$ on the left side as well.
Reading Exercise 15 Find any horizontal asymptotes on the graph of $y=\frac{4 x-1}{x+3}$
微积分代考
Calculus_微积分_Examples of limits at infinity
评估近似渲染 (EAR) 过程也用于这种类型的限制。
示例 1 确定 $\lim x \rightarrow \infty \frac{2 x+8}{x^3+4 x+2}$. 解决方案 我们评估表达式 $x=\Omega:$
$$
\lim x \rightarrow \infty \frac{2 x+8}{x^3+4 x+2}=\frac{2 \Omega+8}{\Omega^3+4 \Omega+2} \approx \frac{2 \Omega}{\Omega^3}=\frac{2}{\Omega^2}=2 \omega^2
$$
限制为 0 。
示例 1 中采用的具有极限的函数图的水平渐近线为 $y=0$ (在右侧)。
示例 2 评估 $\lim x \rightarrow-\infty \frac{x^2+4}{3 x^2+5 x-9}$ 解决方案 我们评估表达式 $x=-\Omega:$
$$
\lim x \rightarrow-\infty \frac{x^2+4}{3 x^2+5 x-9}=\frac{(-\Omega)^2+4}{3(-\Omega)^2+5(-\Omega)-9}=\frac{\Omega^2+4}{3 \Omega^2-5 \Omega-}
$$
极限是 $\frac{1}{3}$. 示例 2 中采用的具有极限的函数图具有水平渐近线 $y=\frac{1}{3}$ (在左 边)。示例 3 求极限: $\lim x \rightarrow \infty \frac{5 x^3-2 x+7}{x^2+7 x-1}$. 解决方案 我们评估表达式 $x=\Omega:$
$$
\lim x \rightarrow \infty \frac{5 x^3-2 x+7}{x^2+7 x-1}=\frac{5 \Omega^3-2 \Omega+7}{\Omega^2+7 \Omega-1} \approx \frac{5 \Omega^3}{\Omega^2}=5 \Omega \doteq \infty
$$
极限是 $\infty$.
Calculus_微积分_Examples of finding asymptotes
确定一个函数是否具有水平渐近线 (或两个) 是通过检車无穷大的极限来完 成 的。自从 $\lim x \rightarrow \infty f(x)$ 可能不同于 $\lim x \rightarrow-\infty f(x)$ ，这两个限制 都应该检查。
例 5 找出图上的所有水平渐近线 $f(x)=\frac{3 x-7}{4 x+\sqrt[3]{x^3+5 x}}$
解决方安我们首先通过评估限制来检查右侧 $x \rightarrow \infty$
$$
\lim x \rightarrow \infty \frac{3 x-7}{4 x+\sqrt[3]{x^3+5 x}}=\frac{3 \Omega-7}{4 \Omega+\sqrt[3]{\Omega^3+5 \Omega}} \approx \frac{3 \Omega}{4 \Omega+\sqrt[3]{\Omega^3}}
$$
该函数在右侧有一条水平渐近线， $y=\frac{3}{5}$. 我们还需要检里左侧，看看结果 是否不同。因此，我们将限制评估为 $x \rightarrow-\infty$ :
$$
\lim x \rightarrow-\infty \frac{3 x-7}{4 x+\sqrt[3]{x^3+5 x}}=\frac{3(-\Omega)-7}{4(-\Omega)+\sqrt[3]{(-\Omega)^3+5(-\Omega)}}=
$$
该函数的水平渐近线为 $y=\frac{3}{5}$ 在左侧也是如此。
阅读练习 15 找出图形上的任何水平渐近线 $y=\frac{4 x-1}{x+3}$
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