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Calculus_微积分_Graphing polynomials using technology
You might ask: Why spend all this time to graph a polynomial by hand when technology can do it for us much more quickly? One answer is that the experience of producing a few such graphs by hand does wonders for one’s ability to process visually the results given by technology, and cements the connection between the visual and the algebraic. A second answer is that practicing the process by hand helps provide the skills needed to use technology to find all the features of a function’s graph even when they are initially hidden or outside the bounds of naively chosen plot boxes.
Example 5 Use a computer algebra system (CAS) to graph the function $f(x)=x^5-181 x^4+6514 x^3-4390 x^2+327 x+273$, showing all its features (use more than one picture if necessary).
Solution We still begin by finding the critical numbers and possible inflection locations so that we know on what interval we should graph the function. Using a CAS to solve the equation $f^{\prime}(x)=0$ results in the critical numbers $x=0.040975, x=0.415378, x=35.2089$, and $x=109.135$ (decimal approximations used; the exact values are not necessary for the purpose of graphing the function). Using the CAS to solve the equation $f^{\prime \prime}(x)=0$ results in the possible inflection locations $x=0.227515, x=22.4592$, and $x=85.9133$. Using the CAS to produce a plot of the function on an interval containing all these values of $x$, and playing with that interval to find something that looks good, results in figure 20 . We were asked to show all the features of the graph. Because it is somewhat difficult to tell from figure 20 whether there are extrema at the left-most critical numbers and possible inflection locations, we can produce additional graphs near these locations, as in figure 21.
Calculus_微积分_Horizontal asymptotes and limits at infinity
Consider the graph of $y=4+\frac{1}{x}$. You should be able to form a mental image of this graph fairly quickly because we can start with the graph of $y=\frac{1}{x}$, which should be on instant recall, and shift up 4 units (figure 1).
The dotted line, which is not part of the graph of the function, represents a horizontal asymptote with equation $y=4$. Just as with a vertical asymptote, the idea is that the function approaches the asymptote, and the dotted line serves as an aid in sketching the graph of the function. How do we interpret a horizontal asymptote? The idea for $y=4+\frac{1}{x}$ is that as $x$ gets “large,” $y$ gets “close” to 4 . This idea can be explored numerically by calculating values of $y$ as our values of $x$ get larger:
It appears to be the case that as $x$ gets larger, $y$ gets ever closer to 4 . This seems evident in this case, but what about more complicated functions? How do we know that something different doesn’t happen as $x$ gets even larger? The problem is that large and close are fairly ambiguous terms. Here is where the hyperreal numbers come to our rescue again. Instead of just using a “large” real number, we use an infinite hyperreal number such as $\Omega$ :
Now we see that if $x$ is infinitely large, then $y$ is infinitely close to 4 . This gives precise meanings to large and close!
The same phenomenon happens when we look at the left side of the graph, where the $x$-coordinates are negative. We still choose an infinite number, but it needs to be negative, such as $-\Omega$ :
Therefore, if $x$ is infinitely large but negative, then $y$ is still infinitely close to 4.
It appears that evaluating a function at infinite hyperreals gives us information about the behavior of the function on the far right and far left of the graph. We have previously used the term limit for calculations that help us determine similar behaviors, and we use this term again here.
微积分代考
Calculus_微积分_Graphing polynomials using technology
你可能会问：既然技术可以更快地为我们绘制多项式，为什么还要花这么多 时间手动绘制多项式? 一个答案是，手工制作一些这样的图表的经验确实对 一个人在视觉上处理技术给出的结果的能力产生了奇迹，并巩固了视觉和代 数之间的联系。第二个答案是，手工练习该过程有助于提供使用技术查找函 数图形的所有特征所需的技能，即使它们最初被隐藏或超出天真选择的绘图 框的范围。
示例 5 使用计算机代数系统 (CAS) 绘制函数图 f(x)=x5−181×4+6514×3−4390×2+327x+273 ，显示其所 有功能 (必要时使用多张图片)。
解决方案我们仍然首先找到临界数和可能的拐点位置，以便我们知道应该在 什么区间绘制函数。使用 CAS 求解方程 f′(x)=0 导致临界数字 x=0.040975,x=0.415378,x=35.2089 ， 和 x=109.135 (使用 十进制近似值；精确值对于绘制函数图不是必需的)。使用 CAS 求解方程 f′′(x)=0 导致可能的拐点位置 x=0.227515,x=22.4592 ，和 x=85.9133. 使用 CAS 在包含所有这些值的区间上生成函数图 x ，并使用 该区间寻找看起来不错的东西，结果如图 20 所示。我们被要求显示该图的所 有特征。因为从图 20 中很难判断最左边的临界数是否存在极值以及可能的拐 点位置，所以我们可以在这些位置附近生成额外的图表，如图 21 所示。
Calculus_微积分_Horizontal asymptotes and limits at infinity
考虑图 y=4+1x. 你应该能够相当快地形成这张图的心理形彖，因为我们 可以从这张图开始 y=1x ，这应该是即时召回，并向上移动 4 个单位（图 1)。
虚线不是函数图形的一部分，它表示一个水平渐近线，方程 y=4. 就像垂直 渐近线一样，这个想法是函数接近渐近线，虚线有助于绘制函数图。我们如 何解释水平渐近线? 的想法 y=4+1x 是这样吗 x 变得”大”， y 变得 “接近” 4 。这个煛法可以通过计算数值来探索 y 作为我们的价值观 x 变大:
情况似乎是这样的 x 变大， y 越来越接近 4 。在这种情况下这似乎很明显，但 是更复杂的函数呢? 我们怎么知道不同的事情不会发生 x 变得更大? 问题是 large 和 close 是相当模棱两可的术语。这就是超实数再次抨救我们的地方。 涐们不只是使用 “大”实数，而是使用无限的超实数，例如 Ω :
现在我们看到，如果 x 是无限大的，那么 y 无限接近 4 。这溨予了大而近的精 确含义!
当我们亘看图表的左侧时，也会发生同样的现象，其中 x-坐标为负。我们还 是选择一个无穷大，但是需要是负数，比如 −Ω:
∖ begin arrayc∣c×&y∖∖h line-IOmega \& $4+\backslash{r a c{1}{-\backslash \mid Omega}=4–lomega\backslash因此，如果lap因此，如果x无限大但为负，则无限大但为负，则y$ 仍然无限接近4。
似乎在无限超现实下评估一个函数可以为我们提供关于该函数在图的最右边 和最左边的行为的信息。我们之前使用术语限制来帮助我们确定类似行为的 计算，我们在这里再次使用这个术语。
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