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计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Regularization effects of (stochastic) gradient descent
Some optimization methods (in particular, second-order batch methods) are able to find “needles in haystacks”, corresponding to narrow but deep “holes” in the loss landscape, corresponding to parameter settings with very low loss. These are known as sharp minima, see Figure 13.19(right). From the point of view of minimizing the empirical loss, the optimizer has done a good job. However, such solutions generally correspond to a model that has overfit the data. It is better to find points that correspond to flat minima, as shown in Figure 13.19(left); such solutions are more robust and generalize better. To see why, note that flat minima correspond to regions in parameter space where there is a lot of posterior uncertainty, and hence samples from this region are less able to precisely memorize irrelevant details about the training set [AS17]. SGD often finds such flat minima by virtue of the addition of noise, which prevents it from “entering” narrow regions of the loss landscape (see e.g., [SL18]). This is called implicit regularization. It is also possible to explicitly encourage SGD to find such flat minima, using entropy SGD [Cha+17], sharpness aware minimization [For $+21$ ], stochastic weight averaging (SWA) [Izm $+18]$, and other related techniques.
Of course, the loss landscape depends not just on the parameter values, but also on the data. Since we usually cannot afford to do full-batch gradient descent, we will get a set of loss curves, one per minibatch. If each one of these curves corresponds to a wide basin, as shown in Figure 13.20a, we are at a point in parameter space that is robust to perturbations, and will likely generalize well. However, if the overall wide basin is the result of averaging over many different narrow basins, as shown in Figure 13.20b, the resulting estimate will likely generalize less well.
This can be formalized using the analysis in [Smi $+21$; BD21]. Specifically, they consider continuous time gradient flow which approximates the behavior of (S)GD. In [BD21], they consider full-batch GD, and show that the flow has the form $\dot{\boldsymbol{w}}=-\nabla_{\boldsymbol{w}} \tilde{\mathcal{L}}{G D}(\boldsymbol{w})$, where $$ \tilde{\mathcal{L}}{G D}(\boldsymbol{w})=\mathcal{L}(\boldsymbol{w})+\frac{\epsilon}{4}|\nabla \mathcal{L}(\boldsymbol{w})|^2
$$
where $\mathcal{L}(\boldsymbol{w})$ is the original loss, $\epsilon$ is the learning rate, and the second term is an implicit regularization term that penalizes solutions with large gradients (high curvature).
In [Smi+21], they extend this analysis to the SGD case. They show that the flow has the form $\dot{\boldsymbol{w}}=-\nabla_{\boldsymbol{w}} \tilde{\mathcal{L}}{S G D}(\boldsymbol{w})$, where $$ \tilde{\mathcal{L}}{S G D}(\boldsymbol{w})=\mathcal{L}(\boldsymbol{w})+\frac{\epsilon}{4} \sum_{k=1}^m\left|\nabla \mathcal{L}k(\boldsymbol{w})\right|^2 $$ where $m$ is the number of minibatches, and $\mathcal{L}_k(\boldsymbol{w})$ is the loss on the $k$ ‘th such minibatch. Comparing this to the full-batch GD loss, we see $$ \tilde{\mathcal{L}}{S G D}(\boldsymbol{w})=\tilde{\mathcal{L}}{G D}(\boldsymbol{w})+\frac{\epsilon}{4} \sum{k=1}^m\left|\nabla \mathcal{L}_k(\boldsymbol{w})-\mathcal{L}(\boldsymbol{w})\right|^2
$$
计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Radial basis function networks
Consider a 1 layer neural net where the hidden layer is given by the feature vector
$$
\boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x})=\left[\mathcal{K}\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\mu}1\right), \ldots, \mathcal{K}\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\mu}_K\right)\right] $$ where $\boldsymbol{\mu}_k \in \mathcal{X}$ are a set of $K$ centroids or exemplars, and $\mathcal{K}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\mu}) \geq 0$ is a kernel function. We describe kernel functions in detail in Section 17.1. Here we just give an example, namely the Gaussian kernel $$ \mathcal{K}{\text {gauss }}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{c}) \triangleq \exp \left(-\frac{1}{2 \sigma^2}|\boldsymbol{c}-\boldsymbol{x}|_2^2\right)
$$
The parameter $\sigma$ is known as the bandwidth of the kernel. Note that this kernel is shift invariant, meaning it is only a function of the distance $r=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{c}|_2$, so we can equivalently write this as
$$
\mathcal{K}_{\text {gauss }}(r) \triangleq \exp \left(-\frac{1}{2 \sigma^2} r^2\right)
$$
This is therefore called a radial basis function kernel or RBF kernel.
A 1 layer neural net in which we use Equation (13.101) as the hidden layer, with RBF kernels, is called an RBF network [BL88]. This has the form
$$
p(y \mid \boldsymbol{x}, \boldsymbol{\theta})=p\left(y \mid \boldsymbol{w}^{\top} \boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x})\right)
$$
where $\boldsymbol{\theta}=(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{w})$. If the centroids $\boldsymbol{\mu}$ are fixed, we can solve for the optimal weights $\boldsymbol{w}$ using (regularized) least squares, as discussed in Chapter 11. If the centroids are unknown, we can estimate them by using an unsupervised clustering method, such as $K=$ means (Section 21.3). Alternatively, we can associate one centroid per data point in the training set, to get $\boldsymbol{\mu}_n=\boldsymbol{x}_n$, where now $K=N$. This is an example of a non-parametric model, since the number of parameters grows (in this case linearly) with the amount of data, and is not independent of $N$. If $K=N$, the model can perfectly interpolate the data, and hence may overfit. However, by ensuring that the output weight vector $\boldsymbol{w}$ is sparse, the model will only use a finite subset of the input examples; this is called a sparse kernel machine, and will be discussed in more detail in Section 17.4.1 and Section 17.3. Another way to avoid overfitting is to adopt a Bayesian approach, by integrating out the weights $w$; this gives rise to a model called a Gaussian process, which will be discussed in more detail in Section 17.2.
机器学习代考
计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Regularization effects of (stochastic) gradient descent
一些优化方法 (特别是二阶批处理方法) 能够找到 “海捞针”，对应于损失景观中窎而深的“洞”，对应于 损失非常低的参数设置。这些被称为尖锐最小值，见图 $13.19$ (右)。从最小化经验损失的角度来看， 优化器做得很好。但是，此类解决方案通常对应于数据过拟合的模型。最好找到与平坦最小值相对应的 点，如图 $13.19$ (左) 所示; 这样的解决方案更健壮，泛化性更好。要了解原因，请注意平坦最小值对 应于参数空间中存在大量后验不确定性的区域，因此来自该区域的样本不太能够准确地记忆与训练集无 关的细节 [AS17]。SGD 通常通过添加噪声来找到这种平坦的最小值，这会阻止它”进入”损失景观的狭窄 区域（参见例如 [SL18])。这称为隐式正则化。也可以明确鼓励 SGD 找到这样的平坦最小值，使用熵 SGD [Cha+17]，锐度感知最小化 [For+21]，随机权重平均 (SWA) [lzm+18]，以及其他相关技术。
当然，损失情况不仅取决于参数值，还取决于数据。由于我们通常无法进行全批次梯度下降，因此我们 将得到一组损失曲线，每个小批量一个。如果这些曲线中的每一条都对应于一个宽广的盆地，如图 13.20a 所示，那么我们就处于参数空间中的一个点，该点对扰动具有鲁棒性，并且可能会很好地概括。 然而，如果整个宽盆地是对许多不同的篮盆地进行平均的结果，如图 13.20b 所示，那么得到的估计可能 会不太好概括。
这可以使用 $[S m i+21 ; B D 21]$ 。具体来说，他们考虑了近似 (S)GD 行为的连续时间梯度流。在 [BD21] 中，他们考虑了全批次 $G \mathrm{G}$ ，并表明流具有以下形式 $\dot{\boldsymbol{w}}=-\nabla_{\boldsymbol{w}} \tilde{\mathcal{L}} G D(\boldsymbol{w})$ ，在哪里
$$
\tilde{\mathcal{L}} G D(\boldsymbol{w})=\mathcal{L}(\boldsymbol{w})+\frac{\epsilon}{4}|\nabla \mathcal{L}(\boldsymbol{w})|^2
$$
在哪里 $\mathcal{L}(\boldsymbol{w})$ 是原始损失， $\epsilon$ 是学习率，第二项是隐式正则化项，它惩罚具有大梯度 (高曲率) 的解决方 案。
在 [Smi+21] 中，他们将此分析扩展到 SGD 案例。他们表明流程具有形式 $\boldsymbol{w}=-\nabla_{\boldsymbol{w}} \tilde{\mathcal{L}} S G D(\boldsymbol{w})$ ，在 哪里
$$
\tilde{\mathcal{L}} S G D(\boldsymbol{w})=\mathcal{L}(\boldsymbol{w})+\frac{\epsilon}{4} \sum_{k=1}^m|\nabla \mathcal{L} k(\boldsymbol{w})|^2
$$
在哪里 $m$ 是小批量的数量，并且 $\mathcal{L}_k(\boldsymbol{w})$ 是损失 $k$ ‘th 这样的小批量。将此与全批次 GD 损失进行比较，我 们看到
$$
\tilde{\mathcal{L}} S G D(\boldsymbol{w})=\tilde{\mathcal{L}} G D(\boldsymbol{w})+\frac{\epsilon}{4} \sum k=1^m\left|\nabla \mathcal{L}_k(\boldsymbol{w})-\mathcal{L}(\boldsymbol{w})\right|^2
$$
计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Radial basis function networks
考虑一个 1 层神经网络，其中隐藏层由特征向量给出
$$
\boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x})=\left[\mathcal{K}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\mu} 1), \ldots, \mathcal{K}\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\mu}K\right)\right] $$ 在哪里 $\boldsymbol{\mu}_k \in \mathcal{X}$ 是一组 $K$ 质心或样本，以及 $\mathcal{K}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\mu}) \geq 0$ 是一个核函数。我们在 $17.1$ 节详细描述了核函 数。这里我们只举一个例子，即高斯核 $$ \mathcal{K}{\text {gauss }}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{c}) \triangleq \exp \left(-\frac{1}{2 \sigma^2}|\boldsymbol{c}-\boldsymbol{x}|2^2\right) $$ 参数 $\sigma$ 被称为内核的带宽。请注意，此内核是移位不变的，这意味着它只是距离的函数 $r=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{c}|_2$ ，所 以我们可以等价地写成 $$ \mathcal{K}{\text {gauss }}(r) \triangleq \exp \left(-\frac{1}{2 \sigma^2} r^2\right)
$$
因此，这被称为径向基函数内核或 RBF 内核。
我们使用方程 (13.101) 作为隐藏层，带有 RBF 内核的 1 层神经网络称为 RBF 网络 [BL88]。这有形式
$$
p(y \mid \boldsymbol{x}, \boldsymbol{\theta})=p\left(y \mid \boldsymbol{w}^{\top} \boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x})\right)
$$
在哪里 $\theta=(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{w})$. 如果质心 $\boldsymbol{\mu}$ 是固定的，我们可以求解最优权重 $\boldsymbol{w}$ 使用（正则化）最小二乘，如第 11 章所述。如果质心末知，我们可以使用无监督聚类方法来估计它们，例如 $K=$ 指 (第 $21.3$ 节)。或 者，我们可以将训练集中的每个数据点关联一个质心，以获得 $\boldsymbol{\mu}_n=\boldsymbol{x}_n$ ，现在在哪里 $K=N$. 这是一个 非参数模型的例子，因为参数的数量随責数据量的增加而增长 (在这种情况下是线性增长的)，并且不 独立于 $N$. 如果 $K=N$ ，该模型可以完美地对数据进行揷值，因此可能会过拟合。但是，通过确保输出 权重向量 $w$ 是稀疏的，模型将仅使用输入示例的有限子集；这称为稀疏内核机器，将在 17.4.1 节和 $17.3$ 节中更详细地讨论。另一种避免过度拟合的方法是采用贝叶斯方法，通过整合权重 $w$; 这产生了一个称为 高斯过程的模型，将在第 $17.2$ 节中更详细地讨论。
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