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计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Mixture of linear experts

In this section, we consider a simple example in which we use linear regression experts and a linear classification gating function, i.e., the model has the form:
$$
\begin{aligned}
p(y \mid \boldsymbol{x}, z=k, \boldsymbol{\theta}) &=\mathcal{N}\left(y \mid \boldsymbol{w}_k^{\top} \boldsymbol{x}, \sigma_k^2\right) \
p(z=k \mid \boldsymbol{x}, \boldsymbol{\theta}) &=\operatorname{Cat}\left(z \mid \mathcal{S}_k(\mathbf{V} \boldsymbol{x})\right)
\end{aligned}
$$
where $\mathcal{S}_k$ is the $k$ ‘th output from the softmax function. The individual weighting term $p(z=k \mid \boldsymbol{x})$ is called the responsibility for expert $k$ for input $\boldsymbol{x}$. In Figure 13.23b, we see how the gating networks softly partitions the input space amongst the $K=3$ experts.

Each expert $p(y \mid \boldsymbol{x}, z=k)$ corresponds to a linear regression model with different parameters. These are shown in Figure 13.23c.

If we take a weighted combination of the experts as our output, we get the red curve in Figure 13.23a, which is clearly is a bad predictor. If instead we only predict using the most active expert (i.e., the one with the highest responsibility), we get the discontinuous black curve, which is a much better predictor.

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Neural Networks for Images

To see why it is not a good idea to apply MLPs directly to image data, recall that the core operation in an MLP at each hidden layer is computing the activations $\boldsymbol{z}=\varphi(\mathbf{W} \boldsymbol{x})$, where $\boldsymbol{x}$ is the input to a layer, $W$ are the weights, and $\varphi()$ is the nonlinear activation function. Thus the $j$ ‘th element of the hidden layer has value $z_j=\varphi\left(\boldsymbol{w}_j^{\top} \boldsymbol{x}\right)$. We can think of this inner product operation as comparing the input $\boldsymbol{x}$ to a learned template or pattern $\boldsymbol{w}_j$; if the match is good (large positive inner product), the activation of that unit will be large (assuming a ReLU nonlinearity), signalling that the $j$ th pattern is present in the input.

However, this does not work well if the input is a variable-sized image, $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{W H C}$, where $W$ is the width, $H$ is the height, and $C$ is the number of input channels (e.g., $C=3$ for RGB color). The problem is that we would need to learn a different-sized weight matrix $\mathbf{W}$ for every size of input image. In addition, even if the input was fixed size, the number of parameters needed would be prohibitive for reasonably sized images, since the weight matrix would have size $(W \times H \times C) \times D$, where $D$ is the number of outputs (hidden units). The final problem is that a pattern that occurs in one location may not be recognized when it occurs in a different location – that is, the model may not exhibit translation invariance – because the weights are not shared across locations (see Figure 14.1).

To solve these problems, we will use convolutional neural networks (CNNs), in which we replace matrix multiplication with a convolution operation. We explain this in detail in Section $14.2$, but the basic idea is to divide the input into overlapping $2 \mathrm{~d}$ image patches, and to compare each patch with a set of small weight matrices, or filters, which represent parts of an object; this is illustrated in Figure 14.2. We can think of this as a form of template matching. We will learn these templates from data, as we explain below. Because the templates are small (often just $3 x 3$ or $5 \times 5$ ), the number of parameters is significantly reduced. And because we use convolution to do the is useful for tasks such as image classification, where the goal is to classify if an object is present, regardless of its location.

CNNs have many other applications besides image classification, as we will discuss later in this chapter. They can also be applied to $1 \mathrm{~d}$ inputs (see Section $15.3$ ) and $3 \mathrm{~d}$ inputs; however, we mostly focus on the $2 \mathrm{~d}$ case in this chapter.

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在本节中,我们考虑一个使用线性回归专家和线性分类门控函数的简单示例,即模型具有以下形式:
$$
p(y \mid \boldsymbol{x}, z=k, \boldsymbol{\theta})=\mathcal{N}\left(y \mid \boldsymbol{w}_k^{\top} \boldsymbol{x}, \sigma_k^2\right) p(z=k \mid \boldsymbol{x}, \boldsymbol{\theta}) \quad=\operatorname{Cat}\left(z \mid \mathcal{S}_k(\mathbf{V} \boldsymbol{x})\right)
$$
在哪里 $\mathcal{S}_k$ 是个 $k$ ‘softmax 函数的输出。个体加权项 $p(z=k \mid \boldsymbol{x})$ 被称为专家的责任 $k$ 用于输入 $\boldsymbol{x}$. 在图 13.23b 中,我们看到了门控网络如何将输入空间软划分为 $K=3$ 专家。
每个专家 $p(y \mid \boldsymbol{x}, z=k)$ 对应不同参数的线性回归模型。这些如图 13.23c所示。
如果我们将专家的加权组合作为我们的输出,我们会得到图 13.23a 中的红色曲线,这显然是一个不好的 预测指标。相反,如果我们只使用最活跃的专家 (即责任最高的专家) 进行预测,我们会得到不连续的 黑色曲线,这是一个更好的预测器。

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Neural Networks for Images

要了解为什么将 MLP 直接应用于图像数据不是一个好主意,请回想 MLP 中每个隐藏层的核心操作是计 算激活 $\boldsymbol{z}=\varphi(\mathbf{W} \boldsymbol{x})$ ,在哪里 $\boldsymbol{x}$ 是层的输入, $W$ 是权重,并且 $\varphi()$ 是非线性激活函数。就这样 $j^{\prime}$ 隐藏层 的第一个元㨞有值 $z_j=\varphi\left(\boldsymbol{w}_j^{\top} \boldsymbol{x}\right)$. 我们可以把这个内积运算看作是比较输入 $\boldsymbol{x}$ 学习模板或模式 $\boldsymbol{w}_j$; 如果 匹配良好 (大的正内积),则该单元的激活将很大(假设 ReLU 非线性),表明 $j$ th 模式存在于输入中。
但是,如果输入是可变大小的图像,这将无法正常工作, $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{W H C}$ ,在哪里 $W$ 是宽度, $H$ 是高度, 并且 $C$ 是输入通道的数量 (例如, $C=3$ RGB 颜色) 。问题是我们需要学习不同大小的权重矩阵 $\mathbf{W}$ 对于 每种尺寸的输入图像。此外,即使输入是固定大小的,对于合理大小的图像,所需的参数数量也会令人 望而却步,因为权重矩阵的大小 $(W \times H \times C) \times D$ , 在哪里 $D$ 是输出的数量 (隐藏单元) 。最后一个 问题是,出现在一个位置的模式在出现在不同位置时可能无法识别一一也就是说,模型可能不会表现出 平移不变性一一因为权重不是跨位置共享的 (见图 14.1)。
为了解决这些问题,我们将使用卷积神经网络 (CNN),其中我们将矩阵乘法替换为卷积运算。我们在章 节中详细解释了这一点14.2,但基本思想是将输入划分为重㽰2 $2 \mathrm{~d}$ 图像块,并将每个块与一组小的权重矩 阵或过滤器进行比较,这些矩阵或过滤器代表对象的一部分;如图 14.2 所示。我们可以将其视为模板匹 配的一种形式。我们将从数据中学习这些模板,如下所述。因为模板很小 (通常只是 $3 x 3$ 或者 $5 \times 5$ ), 参数数量显着减少。而且因为我们使用卷积来执行图像分类等任务,其目标是分类对象是否存在,而不 管其位置如何。
除了图像分类之外,CNN 还有许多其他应用,我们将在本章后面讨论。它们也可以应用于 $1 \mathrm{~d}$ 输入 (见 第15.3) 和 $3 \mathrm{~d}$ 输入; 但是,我们主要关注的是 $2 \mathrm{~d}$ 本章中的案例。

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