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计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Residual connections

One solution to the vanishing gradient problem for DNNs is to use a residual network or ResNet [He $+16 \mathrm{a}]$. This is a feedforward model in which each layer has the form of a residual block, defined by
$$
\mathcal{F}_l^{\prime}(\boldsymbol{x})=\mathcal{F}_l(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{x}
$$
where $\mathcal{F}_l$ is a standard shallow nonlinear mapping (e.g., linear-activation-linear). The inner $\mathcal{F}_l$ function computes the residual term or delta that needs to be added to the input $\boldsymbol{x}$ to generate the desired output; it is often easier to learn to generate a small perturbation to the input than to directly predict the output. (Residual connections are usually used in conjunction with CNNs, as discussed in Section 14.3.4, but can also be used in MLPs.)

A model with residual connections has the same number of parameters as a model without residual connections, but it is easier to train. The reason is that gradients can flow directly from the output to earlier layers, as sketched in Figure 13.15b. To see this, note that the activations at the output layer can be derived in terms of any previous layer $l$ using
$$
z_L=\boldsymbol{z}l+\sum{i=l}^{L-1} \mathcal{F}i\left(\boldsymbol{z}_i ; \boldsymbol{\theta}_i\right) . $$ We can therefore compute the gradient of the loss wrt the parameters of the $l$ ‘th layer as follows: $$ \begin{aligned} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \boldsymbol{\theta}_l} &=\frac{\partial z_l}{\partial \boldsymbol{\theta}_l} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \boldsymbol{z}_l} \ &=\frac{\partial \boldsymbol{z}_l}{\partial \boldsymbol{\theta}_l} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \boldsymbol{z}_L} \frac{\partial \boldsymbol{z}_L}{\partial \boldsymbol{z}_l} \ &=\frac{\partial \boldsymbol{z}_l}{\partial \boldsymbol{\theta}_l} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \boldsymbol{z}_L}\left(1+\sum{i=l}^{L-1} \frac{\partial \mathcal{F}_i\left(\boldsymbol{z}_i ; \boldsymbol{\theta}_i\right)}{\partial \boldsymbol{z}_l}\right) \
&=\frac{\partial \boldsymbol{z}_l}{\partial \boldsymbol{\theta}_l} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \boldsymbol{z}_L}+\text { otherterms }
\end{aligned}
$$
Thus we see that the gradient at layer $l$ depends directly on the gradient at layer $L$ in a way that is independent of the depth of the network.

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Heuristic initialization schemes

In [GB10], they show that sampling parameters from a standard normal with fixed variance can result in exploding activations or gradients. ‘lo see why, consider a linear unit with no activation function given by $o_i=\sum_{j=1}^{n_{\text {in }}} w_{i j} x_j ;$ suppose $w_{i j} \sim \mathcal{N}\left(0, \sigma^2\right)$, and $\mathbb{E}\left[x_j\right]=0$ and $\mathbb{V}\left[x_j\right]=\gamma^2$, where we assume $x_j$ are independent of $w_{i j}$. The mean and variance of the output is given by
$$
\begin{aligned}
&\mathbb{E}\left[o_i\right]=\sum_{j=1}^{n_{\text {in }}} \mathbb{E}\left[w_{i j} x_j\right]=\sum_{j=1}^{n_{\text {in }}} \mathbb{E}\left[w_{i j}\right] \mathbb{E}\left[x_j\right]=0 \
&\mathbb{V}\left[o_i\right]=\mathbb{E}\left[o_i^2\right]-\left(\mathbb{E}\left[o_i\right]\right)^2=\sum_{j=1}^{n_{\text {in }}} \mathbb{E}\left[w_{i j}^2 x_j^2\right]-0=\sum_{j=1}^{n_{\text {in }}} \mathbb{E}\left[w_{i j}^2\right] \mathbb{E}\left[x_j^2\right]=n_{\text {in }} \sigma^2 \gamma^2
\end{aligned}
$$
To keep the output variance from blowing up, we need to ensure $n_{\mathrm{in}} \sigma^2=1$ (or some other constant), where $n_{\text {in }}$ is the fan-in of a unit (number of incoming connections).

Now consider the backwards pass. By analogous reasoning, we see that the variance of the gradients can blow up unless $n_{\text {out }} \sigma^2=1$, where $n_{\text {out }}$ is the fan-out of a unit (number of outgoing connections).

To satisfy both requirements at once, we set $\frac{1}{2}\left(n_{\text {in }}+n_{\text {out }}\right) \sigma^2=1$, or equivalently
$$
\sigma^2=\frac{2}{n_{\text {in }}+n_{\text {out }}}
$$
This is known as Xavier initialization or Glorot initialization, named after the first author of [GB10].

A special case arises if we use $\sigma^2=1 / n_{\text {in }}$; this is known as LeCun initialization, named after Yann LeCun, who proposed it in the 1990s. This is equivalent to Glorot initialization when $n_{\text {in }}=n_{\text {out }}$. If we use $\sigma^2=2 / n_{\text {in }}$, the method is called He initialization, named after Ximing He, who proposed it in $[\mathrm{He}+15]$.

Note that it is not necessary to use a Gaussian distribution. Indeed, the above derivation just worked in terms of the first two moments (mean and variance), and made no assumptions about Gaussianity. For example, suppose we sample weights from a uniform distribution, $w_{i j} \sim \operatorname{Unif}(-a, a)$. The mean is 0 , and the variance is $\sigma^2=a^2 / 3$. Hence we should set $a=\sqrt{\frac{6}{n_{\mathrm{in}}+n_{\mathrm{ou}}}}$.

Although the above derivation assumes a linear output unit, the technique works well empirically even for nonlinear units. The best choice of initialization method depends on which activation function you use. For linear, tanh, logistic, and softmax, Glorot is recommended. For ReLU and variants, He is recommended. For SELU, LeCun is recommended. See e.g., [Ger19] for more heuristics, and e.g., [HDR19] for some theory.

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|COMP3670

机器学习代考

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Residual connections

DNN 的梯庻消失问题的一种解决方案是使用残差网络或 ResNet [He+16a]. 这是一个前绩模型,其中每
一层都具有残差块的形式,定义为
$$
\mathcal{F}_l^{\prime}(\boldsymbol{x})=\mathcal{F}_l(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{x}
$$
在哪里 $\mathcal{F}_l$ 是标准的浅非线性映射 (例如,线性-激活-线性) 。内在 $\mathcal{F}_l$ 函数计算需要添加到输入的残差项 或增量 $x$ 生成所需的输出; 学习对输入产生小的扰动通常比直接预测输出更容易。(残差连接通常与 CNN 一起使用,如第 $14.3 .4$ 节所述,但也可用于 MLP。)
具有残差连接的模型与没有残差连接的模型具有相同数量的参数,但更容易训练。原因是梯度可以直接 从输出流到更早的层,如图 13.15b 所示。要看到这一点,请注意输出层的激活可以根据任何前一层导出 $l$ 使用
$$
z_L=\boldsymbol{z} l+\sum i=l^{L-1} \mathcal{F} i\left(\boldsymbol{z}_i ; \boldsymbol{\theta}_i\right) .
$$
因此,我们可以计算损失的梯度 wrt 的参数 $l$ ‘第层如下:
$$
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \boldsymbol{\theta}_l}=\frac{\partial z_l}{\partial \boldsymbol{\theta}_l} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \boldsymbol{z}_l} \quad=\frac{\partial \boldsymbol{z}_l}{\partial \boldsymbol{\theta}_l} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \boldsymbol{z}_L} \frac{\partial \boldsymbol{z}_L}{\partial \boldsymbol{z}_l}=\frac{\partial \boldsymbol{z}_l}{\partial \boldsymbol{\theta}_l} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \boldsymbol{z}_L}\left(1+\sum i=l^{L-1} \frac{\partial \mathcal{F}_i\left(\boldsymbol{z}_i ; \boldsymbol{\theta}_i\right)}{\partial \boldsymbol{z}_l}\right) \quad=\frac{\partial \boldsymbol{z}_l}{\partial \boldsymbol{\theta}_l} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \boldsymbol{z}_L}
$$
因此我们看到层的梯度 $l$ 直接取决于层的梯度 $L$ 以一种独立于网络深度的方式。

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Heuristic initialization schemes

在 [GB10] 中,他们表明从具有固定方差的标准法线中采样参数会导致激活或梯度爆炸。 ${ }^{\prime}$ ‘看看为什么, 考虑一个没有激活函数的线性单元 $o_i=\sum_{j=1}^{n_{\text {in }}} w_{i j} x_j$;认为 $w_{i j} \sim \mathcal{N}\left(0, \sigma^2\right) ,$ 和 $\mathbb{E}\left[x_j\right]=0$ 和 $\mathbb{V}\left[x_j\right]=\gamma^2$ ,我们假设 $x_j$ 独立于 $w_{i j}$. 输出的均值和方差由下式给出
$$
\mathbb{E}\left[o_i\right]=\sum_{j=1}^{n_{\text {in }}} \mathbb{E}\left[w_{i j} x_j\right]=\sum_{j=1}^{n_{\text {in }}} \mathbb{E}\left[w_{i j}\right] \mathbb{E}\left[x_j\right]=0 \quad \mathbb{V}\left[o_i\right]=\mathbb{E}\left[o_i^2\right]-\left(\mathbb{E}\left[o_i\right]\right)^2=\sum_{j=1}^{n_{\text {in }}} \mathbb{E}\left[w_{i j}^2 x_j^2\right]-0
$$
为了防止输出方差爆炸,我们需要确保 $n_{\text {in }} \sigma^2=1$ (或其他一些常数),其中 $n_{\text {in }}$ 是一个单元的扇入 (传入连接数)。
现在考虑反向传递。通过类似的推理,我们看到梯度的方差会爆炸,除非 $n_{\text {out }} \sigma^2=1$ ,在哪里 $n_{\text {out }}$ 是 一个单元的扇出 (输出连接数) 。
为了同时满足这两个要求,我们设置 $\frac{1}{2}\left(n_{\text {in }}+n_{\text {out }}\right) \sigma^2=1$ ,或等效地
$$
\sigma^2=\frac{2}{n_{\text {in }}+n_{\text {out }}}
$$
这称为 Xavier 初始化或 Glorot 初始化,以 [GB10] 的第一作者命名。
如果我们使用 $\sigma^2=1 / n_{\text {in }}$; 这被称为 LeCun 初始化,以 Yann LeCun 命名,他在 1990 年代提出了它。 这相当于 Glorot 初始化时 $n_{\text {in }}=n_{\text {out }}$. 如果我们使用 $\sigma^2=2 / n_{\text {in }}$ ,该方法称为何初始化,以何布明命 名,他在 $[\mathrm{He}+15]$.
请注意,不必使用高斯分布。实际上,上述推导仅根据前两个矩(均值和方差) 起作用,并且没有对高 斯性做出任何假设。例如,假设我们从均匀分布中抽取权重, $w_{i j} \sim \operatorname{Unif}(-a, a)$. 均值为 0 ,方差为 $\sigma^2=a^2 / 3$. 因此涐们应该设置 $a=\sqrt{\frac{6}{n_{\mathrm{in}}+n_{\mathrm{ou}}}}$.
尽管上述推导假设一个线性输出单元,但即使对于非线性单元,该技术在经验上也能很好地工作。初始 化方法的最佳选择取决于您使用的激活函数。对于 linear、tanh、logistic 和 softmax,推荐使用 Glorot。对于 ReLU 和变体,建议使用 He。对于 SELU,推存使用 LeCun。有关更多启发式方法,请参见 例如 [Ger19],对于某些理论,请参见例如 [HDR19]。

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