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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Banach Lattices

Over the real scalar field, all Banach spaces discussed in this chapter are examples of Banach lattices, a class of Banach spaces that will be briefly discussed in this section.

The main result, Theorem $2.57$, shows that any complete norm on a Banach lattice $X$ which is monotone with respect to the partial order of $X$ is equivalent to the given norm of $X$.

Let $(S, \leqslant)$ be a partially ordered set and let $S^{\prime}$ be a subset of $S$. An element $x \in S$ is said to be a lower bound for $S^{\prime}$ if we have $x \leqslant x^{\prime}$ for all $x^{\prime} \in S^{\prime}$. Such an element is called a greatest lower bound for $S^{\prime}$ if $y \leqslant x$ holds for every lower bound $y$ for $S^{\prime}$. Similarly an element $x \in S$ is said to be an upper bound for $S^{\prime}$ if we have $x^{\prime} \leqslant x$ for all $x^{\prime} \in S^{\prime}$, and such an element is called a least upper bound for $S^{\prime}$ if $x \leqslant y$ holds for every upper bound $y$ for $S^{\prime}$. Greatest lower bounds and least upper bounds, if they exist, are unique.

Definition 2.50 (Lattices). A partially ordered set $(S, \leqslant)$ is called a lattice if every pair of elements has a greatest lower bound and a least upper bound.

The greatest lower bound and the least upper bound of the pair ${x, y} \subseteq S$ in a partially ordered set $S$ will be denoted by $x \wedge y$ and $x \vee y$, respectively.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Hilbert Spaces

Let $V$ be a vector space. A mapping $\phi: V \times V \rightarrow \mathbb{K}$ is called sesquilinear if it is linear in the first variable and conjugate-linear in the second variable, that is,
$\phi\left(v+v^{\prime}, w\right)=\phi(v, w)+\phi\left(v^{\prime}, w\right), \quad \phi(c v, w)=c \phi(v, w)$,
$\phi\left(v, w+w^{\prime}\right)=\phi(v, w)+\phi\left(v, w^{\prime}\right), \quad \phi(v, c w)=\bar{c} \phi(v, w)$,
for all $c \in \mathbb{K}$ and $v, v^{\prime}, w, w^{\prime} \in V$. The complex conjugation in (3.2) is of course redundant when the scalar field is real and sesquilinearity reduces to bilinearity in that case.

Definition 3.1 (Inner products). An inner product space is a pair $(H,(\cdot \mid \cdot))$, where $H$ is a vector space and $(\cdot \mid \cdot)$ is an inner product on $H \times H$, that is, a sesquilinear mapping from $H \times H$ to $\mathbb{K}$ with the following properties:
(i) $(x \mid x) \geqslant 0$ for all $x \in H$ and $(x \mid x)=0 \Rightarrow x=0$;
(ii) $(x \mid y)=\overline{(y \mid x)}$ for all $x, y \in H$.
The conjugation bar in (ii) is again redundant when the scalar field is real. If (ii) holds, then (3.1) implies (3.2).

It will be used frequently without further comment that
if $(x \mid y)=0$ for all $y \in H$, then $x=0$.
Indeed, the hypothesis implies that $(x \mid x)=0$, and then $x=0$ by the definition of an inner product.

When the inner product $(\cdot \mid \cdot)$ is understood we simply write $H$ instead of $(H,(\cdot \mid \cdot))$.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|MATH4101

泛函分析代考

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Banach Lattices

在实标量场上,本章讨论的所有 Banach 空间都是 Banach 格的示例,这是本节将简要讨论的一类 Banach 空间。
主要结果,定理 $2.57$, 表明 Banach 格上的任何完全范数 $X$ 就偏序而言是单调的 $X$ 等价于给定的范数 $X$.
让 $(S, \leqslant)$ 是一个偏序集并且让 $S^{\prime}$ 成为的一个子集 $S$.一个元表 $x \in S$ 据说是下界 $S^{\prime}$ 如果我们有 $x \leqslant x^{\prime}$ 对所 有人 $x^{\prime} \in S^{\prime}$. 这样的元溸称为最大下界 $S^{\prime}$ 如果 $y \leqslant x$ 对每个下限都成立 $y$ 为了 $S^{\prime}$. 同样一个元素 $x \in S$ 据 说是一个上限 $S^{\prime}$ 如果我们有 $x^{\prime} \leqslant x$ 对所有人 $x^{\prime} \in S^{\prime}$ ,并且这样的元素被称为最小上界 $S^{\prime}$ 如果 $x \leqslant y$ 对 每个上限都成立 $y$ 为了 $S^{\prime}$. 最大下界和最小上界 (如果存在) 是唯一的。
定义 $2.50$ (格) 。偏序集 $(S, \leqslant)$ 如果每对元䋏都有一个最大的下界和一个最小的上界,则称为格。
对的最大下界和最小上界 $x, y \subseteq S$ 在偏序集中 $S$ 将表示为 $x \wedge y$ 和 $x \vee y$ ,分别。

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Hilbert Spaces

让 $V$ 是一个向量空间。一个映射 $\phi: V \times V \rightarrow \mathbb{K}$ 如果它在第一个变量中是线性的并且在第二个变量中是 共轭线性的,则称为倍半线性,即
$$
\begin{aligned}
&\phi\left(v+v^{\prime}, w\right)=\phi(v, w)+\phi\left(v^{\prime}, w\right), \quad \phi(c v, w)=c \phi(v, w) \
&\phi\left(v, w+w^{\prime}\right)=\phi(v, w)+\phi\left(v, w^{\prime}\right), \quad \phi(v, c w)=\bar{c} \phi(v, w)
\end{aligned}
$$
对于所有 $c \in \mathbb{K}$ 和 $v, v^{\prime}, w, w^{\prime} \in V$. 当标量场是实数并且倍半线性在这种情况下减少为双线性时,
(3.2) 中的筫共轭当然是多余的。
定义 $3.1$ (内积) 。内积空间是一对 $(H,(\cdot \mid \cdot))$ , 在哪里 $H$ 是一个向量空间并且 $(\cdot \mid \cdot)$ 是一个内积 $H \times H$ ,即从 $H \times H$ 至 $\mathbb{K}$ 具有以下特性:
(i) $(x \mid x) \geqslant 0$ 对所有人 $x \in H$ 和 $(x \mid x)=0 \Rightarrow x=0$;
(二) $(x \mid y)=\overline{(y \mid x)}$ 对所有人 $x, y \in H$.
当标量场为实数时, (ii) 中的共轭条再次是多余的。如果 (ii) 成立,则 (3.1) 蕴含 (3.2)。
将经常使用,无需进一步说明,
如果 $(x \mid y)=0$ 对所有人 $y \in H$ ,然后 $x=0$.
事实上,该假设意味着 $(x \mid x)=0$ ,接着 $x=0$ 根据内积的定义。
当内积 $(\cdot \mid \cdot)$ 被理解我们简单地写 $H$ 代替 $(H,(\cdot \mid \cdot))$.

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