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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Radon–Nikodym Theorem

If $f: \Omega \rightarrow \mathbb{K}$ is integrable with respect to the measure $\mu$, then the $\mathbb{K}$-valued measure
$$
v(F):=\int_F f \mathrm{~d} \mu, \quad F \in \mathscr{F},
$$
is absolutely continuous with respect to $\mu$, that is, $\mu(F)=0$ implies $v(F)=0$. The following theorem provides a converse under a $\sigma$-finiteness assumption.

Theorem 2.46 (Radon-Nikodým). Let $(\Omega, \mathscr{F}, \mu)$ be a $\sigma$-finite measure space. If the measure $v: \mathscr{F} \rightarrow \mathbb{K}$ is absolutely continuous with respect to $\mu$, then there exists a unique $g \in L^1(\Omega, \mu)$ such that
$$
v(F)=\int_F g \mathrm{~d} \mu, \quad F \in \mathscr{F} .
$$
Proof Uniqueness being clear, the proof is devoted to proving existence. By considering real and imaginary parts separately it suffices to consider the case of real scalars. Then, decomposing $v$ into positive and negative parts via the Jordan decomposition, it suffices to consider the case where $v$ is a finite nonnegative measure.
Consider the set
$$
S:=\left{f \in L^1(\Omega, \mu): f \geqslant 0, \int_F f \mathrm{~d} \mu \leqslant v(F) \text { for all } F \in \mathscr{F}\right} .
$$
Then $0 \in S$, so $S$ is nonempty. Let
$$
M:=\sup {f \in S} \int{\Omega} f \mathrm{~d} \mu .
$$
For all $f \in S$ we have $\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu \leqslant v(\Omega)$ and therefore $M \leqslant v(\Omega)<\infty$.
Step 1 – In this step we prove that there exists a function $g \in S$ for which the supremum in the definition of $M$ is attained. Let $\left(f_n\right)_{n \geqslant 1}$ be a sequence in $S$ with the property that $\lim {n \rightarrow \infty} \int{\Omega} f_n \mathrm{~d} \mu=M$. Set $g_n:=f_1 \vee \cdots \vee f_n$. Any set $F \in \mathscr{F}$ can be written as a disjoint union of sets $F_1^{(n)}, \ldots, F_n^{(n)} \in \mathscr{F}$ such that $g_j=f_j$ on $F_j^{(n)}$ and therefore
$$
\int_F g_n \mathrm{~d} \mu=\sum_{j=1}^n \int_{F_j^{(n)}} f_j \mathrm{~d} \mu \leqslant \sum_{j=1}^n v\left(F_j^{(n)}\right)=v(F)
$$

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Integration with Respect to K-Valued Measures

A measurable function $f$ is said to be integrable with respect to a $\mathbb{K}$-valued measure $\mu$ if it is integrable with respect to $|\mu|$. The function $f$ is integrable with respect to a real measure $\mu$ if and only if it is integrable with respect to the measures $\mu^{+}$and $\mu^{-}$, where $\mu=\mu^{+}-\mu^{-}$is the Jordan decomposition, and $f$ is integrable with respect to a complex measure $\mu$ if and only if $f$ is integrable with respect to the real and imaginary parts of $\mu$.

The integral of an integrable function $f$ with respect to a real measure $\mu$ is defined by
$$
\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu:=\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu^{+}-\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu^{-},
$$
and the integral of an integrable function $f$ with respect to a complex measure $\mu$ by
$$
\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu:=\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \operatorname{Re} \mu+i \int_{\Omega} f \mathrm{~d} \operatorname{Im} \mu .
$$
Proposition 2.49. If $f$ is integrable with respect to a $\mathbb{K}$ valued measure $\mu$, then
$$
\left|\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu\right| \leqslant \int_{\Omega}|f| \mathrm{d}|\mu| .
$$
Proof First let $f=\sum_{n=1}^N c_n \mathbf{1}{F_n}$ be a simple function, with the sets $F_n \in \mathscr{F}$ disjoint. Then $$ \left|\int{\Omega} f \mathrm{~d} \mu\right|=\left|\sum_{n=1}^N c_n \mu\left(F_n\right)\right| \leqslant \sum_{n=1}^N\left|c_n\right|\left|\mu\left(F_n\right)\right| \leqslant \sum_{n=1}^N\left|c_n\right||\mu|\left(F_n\right)=\int_{\Omega}|f| \mathrm{d}|\mu| .
$$
The general case follows from this by observing that the simple functions are dense in $L^1(\Omega,|\mu|)$ and that $f_n \rightarrow f$ in $L^1(\Omega,|\mu|)$ implies $\int_{\Omega}\left|f_n-f\right| \mathrm{d} v \rightarrow 0$ for each of the measures $v \in\left{\operatorname{Re} \mu, \operatorname{Im} \mu, \mu^{+}, \mu^{-}\right}$.

A more elegant, but less elementary, alternative definition of the integral $\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu$ can be given with the help of the Radon-Nikodým theorem. Indeed, defining $\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu$ as above, by the result of Example $2.48$ for functions $f \in L^1(\Omega,|\mu|)$ we have the identity
$$
\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu=\int_{\Omega} f h \mathrm{~d}|\mu|,
$$
where $\mathrm{d} \mu=h \mathrm{~d}|\mu|$ as in the example (note that $f h \in L^1(\Omega,|\mu|$ ) since $|h|=1 \mu$-almost everywhere). This identity could be taken as an alternative definition for the integral $\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu$

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|MAST90020

泛函分析代考

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Radon–Nikodym Theorem

如果 $f: \Omega \rightarrow \mathbb{K}$ 关于测度是可积的 $\mu$ ,那么覔值测量
$$
v(F):=\int_F f \mathrm{~d} \mu, \quad F \in \mathscr{F},
$$
是绝对连续的 $\mu$ ,那是, $\mu(F)=0$ 暗示 $v(F)=0$. 下面的定理提供了一个逆 $\sigma$ – 有限性假设。
定理 $2.46$ (Radon-Nikodym) 。航班 $(\Omega, \mathscr{F}, \mu)$ 做一个 $\sigma$ – 有限的测量空间。如果测量 $v: \mathscr{F} \rightarrow \mathbb{K}$ 是绝 对连续的 $\mu_t$ 那么存在唯一的 $g \in L^1(\Omega, \mu)$ 这样
$$
v(F)=\int_F g \mathrm{~d} \mu, \quad F \in \mathscr{F} .
$$
证明唯一性明确,证明致力于证明存在。通过分别考虑实部和虚部,考虑实标量的情况就足够了。然 后,分解 $v$ 通过 Jordan 分解分为正负部分,只需考虑以下情况 $v$ 是一个有限的非负贬度。
考虑集合
然后 $0 \in S$ ,所以 $S$ 是非空的。让
$$
M:=\sup f \in S \int \Omega f \mathrm{~d} \mu .
$$
对所有人 $f \in S$ 我们有 $\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu \leqslant v(\Omega)$ 因此 $M \leqslant v(\Omega)<\infty$.
第 1 步一一在这一步中,我们证明存在一个函数 $g \in S$ 定义中的最高值 $M$ 达到。让 $\left(f_n\right){n \geqslant 1}$ 成为一个序 列 $S$ 与财产 $\lim n \rightarrow \infty \int \Omega f_n \mathrm{~d} \mu=M$. 放 $g_n:=f_1 \vee \cdots \vee f_n$. 任何一套 $F \in \mathscr{F}$ 可以写成不相交的集 合并集 $F_1^{(n)}, \ldots, F_n^{(n)} \in \mathscr{F}$ 这样 $g_j=f_j$ 上 $F_j^{(n)}$ 因此 $$ \int_F g_n \mathrm{~d} \mu=\sum{j=1}^n \int_{F_j^{(n)}} f_j \mathrm{~d} \mu \leqslant \sum_{j=1}^n v\left(F_j^{(n)}\right)=v(F)
$$

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Integration with Respect to K-Valued Measures

可测量的函数 $f$ 据说关于 $\mathrm{a}$ 可积 $\mathbb{K}$ 值测量 $\mu$ 如果它是可积的 $|\mu|$. 功能 $f$ 关于实测度是可积的 $\mu$ 当且仅当它对 于度量是可积的 $\mu^{+}$和 $\mu^{-}$,在哪里 $\mu=\mu^{+}-\mu^{-}$是 Jordan 分解,并且 $f$ 关于复测度是可积的 $\mu$ 当且仅 当 $f$ 的实部和虚部是可积的 $\mu$.
可积函数的积分 $f$ 相对于实际测量 $\mu$ 定义为
$$
\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu:=\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu^{+}-\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu^{-},
$$
和可积函数的积分 $f$ 关于一个筫杂的措施 $\mu$ 经过
$$
\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu:=\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \operatorname{Re} \mu+i \int_{\Omega} f \mathrm{~d} \operatorname{Im} \mu .
$$
提案 2.49。如果 $f$ 是关于一个可积的 $\mathbb{K}$ 价值衡量 $\mu$ ,然后
$$
\left|\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu\right| \leqslant \int_{\Omega}|f| \mathrm{d}|\mu| .
$$
证明先让 $f=\sum_{n=1}^N c_n 1 F_n$ 是一个简单的函数,带有集合 $F_n \in \mathscr{F}$ 脱节。然后
$$
\left|\int \Omega f \mathrm{~d} \mu\right|=\left|\sum_{n=1}^N c_n \mu\left(F_n\right)\right| \leqslant \sum_{n=1}^N\left|c_n\right|\left|\mu\left(F_n\right)\right| \leqslant \sum_{n=1}^N\left|c_n\right||\mu|\left(F_n\right)=\int_{\Omega}|f| \mathrm{d}|\mu| .
$$
一般情况由此而来,通过观察简单函数在 $L^1(\Omega,|\mu|)$ 然后 $f_n \rightarrow f$ 在 $L^1(\Omega,|\mu|)$ 暗示
$\int_{\Omega}\left|f_n-f\right| \mathrm{d} v \rightarrow 0$ 对于每一项措施
一个更优雅但不那么基本的积分的替代定义 $\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu$ 可以在 Radon-Nikodým 定理的帮助下给出。确实, 定义 $\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu$ 如上,由示例的结果 $2.48$ 对于函数 $f \in L^1(\Omega,|\mu|)$ 我们有身份
$$
\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu=\int_{\Omega} f h \mathrm{~d}|\mu|,
$$
在哪里 $\mathrm{d} \mu=h \mathrm{~d}|\mu|$ 如示例所示 (请注意 $f h \in L^1(\Omega,|\mu|$ ) 自从 $|h|=1 \mu$-几乎无处不在) 。这个恒等 式可以作为积分的替代定义 $\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu$

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