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数学代写|微积分代写Calculus代写|Differentiating implicitly defined functions

Although the curve $x^2+y^2=1$ is not a function, it is a circle and therefore does have a tangent line at any given point. It even looks as though we should be able to find the tangent. If we zoom in near the point of tangency, the picture looks like the graph of a function with a tangent line (figure 2).

Figure 2 illustrates the key idea: keep only a portion of the curve so that what remains passes the vertical line test and therefore represents a function. This can be done in many different ways. For instance, we could keep the top half of the curve or the bottom half of the curve, as in figure 3. Either way, what remains passes the vertical line test and
Figure 3 The graphs of two functions defined implicitly by $x^2+y^2=1$
represents the graph of a function. These are not the only two possibilities; we could also keep the top left and bottom right quarters of the circle, or even pick and choose other pieces seemingly at random, as long as what remains passes the vertical line test. See figure 4 . There is a sense in which the equation $x^2+y^2=1$ defines all of these different functions. These functions are not written explicitly, but they are implied; therefore, we say that these functions are defined implicitly by the equation $x^2+y^2=1$.

There are two ideas of how we might proceed to find the slope of the tangent line. One is to determine the equation of the bottom half of the circle and then use our previous methods (find the derivative and evaluate it) to find the slope. This is demonstrated later (example 6), but the problem with this method is that it is sometimes hard or even impossible to find a function representing the appropriate piece of the curve. We need a different method.

The second idea, called implicit differentiation, is to go ahead and take the derivative of the equation in its current form. We need rules for differentiating an equation such as $x^2+y^2=1$, instead of a function.
If we want the slope of the tangent line, we want to know $\frac{d y}{d x}$. That is, we want to find the derivative with respect to the variable $x$. The variables $x$ and $y$ are not treated the same:
$$
\frac{d}{d x} x=1,
$$
whereas
$$
\frac{d}{d x} y=\frac{d y}{d x}=y^{\prime}
$$

数学代写|微积分代写Calculus代写|Implicit differentiation examples

Example 2 Find $y^{\prime}$ for $(y+3)^4=x^7-3 \sin x+y$.
Solution (1) We begin by differentiating both sides with respect to $x$ :
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{d x}\left((y+3)^4\right) &=\frac{d}{d x}\left(x^7-3 \sin x+y\right) \
4(y+3)^3 \cdot 1 \cdot y^{\prime} &=7 x^6-3 \cos x+y^{\prime}
\end{aligned}
$$
(2) Next we solve for $y^{\prime}$. We start by moving terms involving $y^{\prime}$ to one side of the equation and terms not involving $y^{\prime}$ to the other side:
$$
4(y+3)^3 y^{\prime}-y^{\prime}=7 x^6-3 \cos x
$$
If necessary (if $y^{\prime}$ is in more than one term), we can factor out $y^{\prime}$ :
$$
y^{\prime}\left(4(y+3)^3-1\right)=7 x^6-3 \cos x
$$
Finally, we divide to isolate $y^{\prime}$ :
$$
y^{\prime}=\frac{7 x^6 \quad 3 \cos x}{4(y+3)^3-1}
$$
Because $y^{\prime}$ is all that was requested, there is no third step.
Reading Exercise 25 Find $y^{\prime}$ for $(y+1)^2=x^2+4$
Recall that we are thinking of $y$ as defining a function of $x$ implicitly. Just as both $x \sin x$ and $x \sqrt{x^3-4 x+7}$ are products and require the product rule to differentiate, so does $x \cdot y$.

数学代写|微积分代写Calculus代写|MATH141

微积分代考

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虽然曲线 $x^2+y^2=1$ 不是函数,它是一个圆,因此在任何给定点都有一条切线。甚至看起来我们应该 能够伐到切线。如果我们在切点附近放大,图片看起来像带有切线的函数图(图 2)。
图 2 说明了关键思想: 仅保留曲线的一部分,以便剩余部分通过垂直线测试并因此代表一个函数。这可 以通过许多不同的方式来完成。例如,我们可以保留曲线的上半部分或曲线的下半部分,如图 3 所示。 无论哪种方式,剩下的部分都通过了垂直线测试和 图 3 隐含定义的两个函数的图形 $x^2+y^2=1$
表示函数的图形。这不是唯一的两种可能性。我们也可以保留圆围的左上角和右下角,甚至可以随意挑 选其他部分,只要剩下的部分通过垂直线测试即可。见图 4。从某种意义上说,方程 $x^2+y^2=1$ 定义 了所有这些不同的功能。这些函数没有明确写出来,但它们是隐含的; 因此,我们说这些函数由等式隐 式定义 $x^2+y^2=1$.
关于如何继续找到切线的斜率,有两种想法。一种是确定圆下半部分的方程,然后使用我们之前的方法 (求导数并求值) 求斜率。这将在后面进行演示 (示例 6),但这种方法的问题是有时即难甚至不可能 找到代表曲线的适当部分的函数。我们需要一种不同的方法。
第二个煛法,称为隐式微分,是继续以当前形式对方程求导。我们需要用于微分方程的规则,例如 $x^2+y^2=1$ ,而不是函数。
如果我们想要切线的斜率,我们想知道 $\frac{d y}{d x}$. 也就是说,我们要找到关于变量的导数 $x$. 变量 $x$ 和 $y$ 不一样对 待:
$$
\frac{d}{d x} x=1,
$$
然而
$$
\frac{d}{d x} y=\frac{d y}{d x}=y^{\prime}
$$

数学代写|微积分代写Calculus代写|Implicit differentiation examples

示例 2 亘找 $y^{\prime}$ 为了 $(y+3)^4=x^7-3 \sin x+y$.
解决方案 (1) 我们首先对双方进行微分 $x$ :
$$
\frac{d}{d x}\left((y+3)^4\right)=\frac{d}{d x}\left(x^7-3 \sin x+y\right) 4(y+3)^3 \cdot 1 \cdot y^{\prime} \quad=7 x^6-3 \cos x+y^{\prime}
$$
(2) 接下来我们求解 $y^{\prime}$. 我们首先移动涉及的术语 $y^{\prime}$ 方程的一侧和不涉及的项 $y^{\prime}$ 到另一边:
$$
4(y+3)^3 y^{\prime}-y^{\prime}=7 x^6-3 \cos x
$$
如有必要(如果 $y^{\prime}$ 不止一个术语),我们可以分解出 $y^{\prime}$ :
$$
y^{\prime}\left(4(y+3)^3-1\right)=7 x^6-3 \cos x
$$
最后,我们分开来隔离 $y^{\prime}$ :
$$
y^{\prime}=\frac{7 x^6 \quad 3 \cos x}{4(y+3)^3-1}
$$
因为 $y^{\prime}$ 就是所有的要求,没有第三步。
阅读练习 25 查找 $y^{\prime}$ 为了 $(y+1)^2=x^2+4$
回想一下,我们正在考虑 $y$ 作为定义一个函数 $x$ 含葍地。就像两者一样 $x \sin x$ 和 $x \sqrt{x^3-4 x+7}$ 是产品 并且需要产品规则来区分,所以也是 $x \cdot y$.

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