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数学代写|微积分代写Calculus代写|Second derivatives implicitly
Example 5 Find $y^{\prime \prime}$ for $y^3=4 \sin x-y^2+7$
Solution The usual procedure for finding the second derivative is to start by finding the first derivative. We begin by differentiating each side with respect to $x$ :
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{d x}\left(y^3\right) &=\frac{d}{d x}\left(4 \sin x-y^2+7\right) \
3 y^2 \cdot y^{\prime} &=4 \cos x-2 y \cdot y^{\prime}
\end{aligned}
$$
Next we solve for $y^{\prime}$ :
$$
\begin{aligned}
3 y^2 y^{\prime}+2 y y^{\prime} &=4 \cos x \
y^{\prime}\left(3 y^2+2 y\right) &=4 \cos x \
y^{\prime} &=\frac{4 \cos x}{3 y^2+2 y} .
\end{aligned}
$$
We wish to find the second derivative. Differentiating both sides again with respect to $x$ gives $$
\begin{aligned}
\frac{d}{d x} y^{\prime} &=\frac{d}{d x}\left(\frac{4 \cos x}{3 y^2+2 y}\right) \
y^{\prime \prime}-& \frac{\left(3 y^2+2 y\right) \cdot 4(-\sin x)-(4 \cos x)\left(6 y \cdot y^{\prime}+2 \cdot y^{\prime}\right)}{\left(3 y^2+2 y\right)^2}
\end{aligned}
$$
There is no need to solve for $y^{\prime \prime}$. However, what we have now is listed in terms of $x, y$, and $y^{\prime}$. To have an expression for $y^{\prime \prime}$ that depends on $x$ and $y$ only, we can replace $y^{\prime}$ with its previous expression:
$$
y^{\prime \prime}=\frac{\left(3 y^2+2 y\right) \cdot 4(-\sin x)-(4 \cos x)\left(6 y \cdot \frac{4 \cos x}{3 y^2+2 y}+2 \cdot \frac{4 \cos x}{3 y^2+2 y}\right)}{\left(3 y^2+2 y\right)^2} .
$$
The solution can be simplified if desired.
Reading Exercise 27 Find $y^{\prime \prime}$ given that $y^{\prime}=\frac{x^2}{3 x+y^2}$.
数学代写|微积分代写Calculus代写|Making implicit explicit
Sometimes an equation in $x$ and $y$ can be solved explicitly for $y$ (more generally, solved for the dependent variable in terms of the independent variable) to avoid implicit differentiation. Let’s reprise example 1 to illustrate.
Example 6 Find the slope of the tangent line to the curve $x^2+y^2=1$ at the point $\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
Solution We begin by solving the equation for $y$ (see figure 5):
$$
\begin{aligned}
x^2+y^2 &=1, \
y^2 &=1-x^2, \
y &=\pm \sqrt{1-x^2} .
\end{aligned}
$$
Notice that this gives not one, but two, functions (or more; see the earlier discussion). The top half of the curve has positive $y$-coordinates and is therefore represented by $y=\sqrt{1-x^2}$, whereas the bottom half of the curve has negative $y$-coordinates and is represented by $y=-\sqrt{1-x^2}$ (figure 6).
Consulting the graph of the equation (see figure 5), we see that the desired point of tangency lies on the bottom half of the curve, so we use $y=-\sqrt{1-x^2}$ and find the equation of the tangent line to that curve at $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$. First we find $y^{\prime}$ :
$$
y^{\prime}=-\frac{1}{2}\left(1-x^2\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot(-2 x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} .
$$
Then, we evaluate the derivative at $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ :
$$
y^{\prime}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{1-\frac{1}{2}}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=1 .
$$
The slope of the tangent line is one, matching the solution to example 1.
The problem with using the method of example 6 is that the first step, solving for $y$, can be difficult or even impossible. Example 3 can be worked in this manner, but it is more difficult. Solving for $y$ in example 5 is very difficult, so that the messy algebra of implicit differentiation is still preferred. Solving for $y$ in example 2 is so difficult that it takes two printed pages just to present the solution, and then we would still need to take the derivative of that mess. And solving for $y$ in example 4 cannot be done at all. Implicit differentiation is, by far, the preferred method.
微积分代考
数学代写|微积分代写Calculus代写|Second derivatives implicitly
示例 5 亘找 $y^{\prime \prime}$ 为了 $y^3=4 \sin x-y^2+7$
解 求二阶导数的通常过程是从求一阶导数开始。我们首先区分每一边 $x$ :
$$
\frac{d}{d x}\left(y^3\right)=\frac{d}{d x}\left(4 \sin x-y^2+7\right) 3 y^2 \cdot y^{\prime}=4 \cos x-2 y \cdot y^{\prime}
$$
接下来我们解决 $y$ ‘:
$$
3 y^2 y^{\prime}+2 y y^{\prime}=4 \cos x y^{\prime}\left(3 y^2+2 y\right) \quad=4 \cos x y^{\prime}=\frac{4 \cos x}{3 y^2+2 y} .
$$
我们苃望找到二阶导数。再次对双方进行微分 $x$ 给
$$
\frac{d}{d x} y^{\prime}=\frac{d}{d x}\left(\frac{4 \cos x}{3 y^2+2 y}\right) y^{\prime \prime}-\quad \frac{\left(3 y^2+2 y\right) \cdot 4(-\sin x)-(4 \cos x)\left(6 y \cdot y^{\prime}+2 \cdot y^{\prime}\right)}{\left(3 y^2+2 y\right)^2}
$$
没有必要解决 $y^{\prime \prime}$. 但是，我们现在列出的内容是 $x, y$ ，和 $y^{\prime}$. 有一个表达式 $y^{\prime \prime}$ 这取决于 $x$ 和 $y$ 只有，我们可 以替换 $y$ 及其先前的表达式:
$$
y^{\prime \prime}=\frac{\left(3 y^2+2 y\right) \cdot 4(-\sin x)-(4 \cos x)\left(6 y \cdot \frac{4 \cos x}{3 y^2+2 y}+2 \cdot \frac{4 \cos x}{3 y^2+2 y}\right)}{\left(3 y^2+2 y\right)^2} .
$$
如果需要，可以简化解决方案。
阅读练习 27 查找 $y^{\prime \prime}$ 鉴于 $y^{\prime}=\frac{x^2}{3 x+y^2}$.
数学代写|微积分代写Calculus代写|Making implicit explicit
有时一个方程 $x$ 和 $y$ 可以明确解决 $y$ (更一般地说，根据自变量求解因变量) 以避免隐式微分。让我们重 复示例 1 来说明。
示例 6 求曲线的切线斜率 $x^2+y^2=1$ 在这一点上 $\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
解 我们首先求解方程 $y$ (见图5) :
$$
x^2+y^2=1, y^2 \quad=1-x^2, y=\pm \sqrt{1-x^2} .
$$
请注意，这给出的不是一个，而是两个函数 (或更多; 参见前面的讨论) 。曲线的上半部分为正 $y$-坐 标，因此表示为 $y=\sqrt{1-x^2}$ ，而曲线的下半部分为负 $y$-坐标并表示为 $y=-\sqrt{1-x^2}$ (图 6) 。
查阅方程图 (见图 5)，我们看到所需的切点位于曲线的下半部分，因此我们使用 $y=-\sqrt{1-x^2}$ 并找 到该曲线的切线方程 $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$. 首先我们发现 $y^{\prime}$ :
$$
y^{\prime}=-\frac{1}{2}\left(1-x^2\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot(-2 x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} .
$$
然后，我们评估导数 $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ :
$$
y^{\prime}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{1-\frac{1}{2}}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=1 .
$$
切线的斜率为 1 ，与示例 1 的解相匹配。
使用示例 6 的方法的问题在于，第一步，求解 $y$, 可能很困难，甚至是不可能的。示例 3 可以以这种方式 进行，但难度更大。解决 $y$ 例 5 中的难度很大，所以还是首选隐式微分的杂乱代数。解决 $y$ 在示例 2 中， 它是如此的困难，以至于只需要打印两个页面来呈现解决方案，然后我们仍然需要从那个混乱中得到衍 生物。并解决 $y$ 在示例 4 中根本无法完成。到目前为止，隐式微分是首选方法。
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