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数学代写|优化理论作业代写optimization theory代考|New Fitness Function Considering L2 Regularization

The performance of an EPR procedure mainly depends on fitness function. A widely used fitness function is structural risk minimization (SRM) [3], which involves the addition of model complexity term (size of model) in the empirical error and punishes the model fitness based on its size. Another problem is that a relatively small amount of data will increase the risk to cause the model overfitting, making the training error small and the testing error particularly large, which would weaken the generalization ability of an EPR model. Then, the use of regularization/penalty functions (e.g., $L_0, L_1$ and $L_2$ regularizations) to avoid overfitting is suggested [4]. Among various regularizations, the $L_2$ regularization is usually adopted [5]. Therefore, a modified mathematical formulation of SRM considering the $L_2$ regularization was adopted in this study, given as:
$$
\left.\mathrm{SRM}=\frac{\operatorname{SSE}}{N}\left(1-\sqrt{\left(\frac{n}{N}-\left(\frac{n}{N} \log \left(\frac{n}{N}\right)\right)+\left(\frac{\log \left(\frac{n}{N}\right)}{2 N}\right)\right.}\right)\right)^{-1}+\lambda|\omega|_2^2
$$
with
$$
\mathrm{SSE}=\sum_{i=1}^N\left(\mathbf{Y}{\mathbf{m}}-\mathbf{Y}{\mathbf{p}}\right)^2 \text { and }|\boldsymbol{\omega}|_2^2=\sum_{j=1}^n \boldsymbol{\omega}j=\boldsymbol{\omega}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\omega} $$ where $N$ is the number of data points on which the SRM is computed; $\mathbf{Y}{\mathrm{m}}$ is the vector of measured values; $\mathbf{Y}_{\mathrm{p}}$ is the vector of predicted values; $\boldsymbol{\omega}$ is the vector of model coefficients; $\lambda$ is regularization parameter that requires manual adjustment to find an appropriate value.

数学代写|优化理论作业代写optimization theory代考|Adaptive Selection of Correlating Variables and Term Size

A reliable EPR model should have a reasonable trade-off between predictive ability and generalization ability. As stated by Wood [6], simple yet adequate models are favored on the basis of practicality. Therefore, an EPR procedure combining with model selection process should be proposed to ensure the model “simple” enough based on minimizing the training error. Then the model could also have a good generalization performance (e.g., the testing error is also small). In this case, the model selection involves two aspects: selecting the suitable combination of correlating variables and the appropriate size of terms.

Figure $5.2$ presents the proposed procedure, where $\boldsymbol{\theta}$ is the decision variables corresponding to the exponents of EPR model; Comb represents the number of combination of correlating variables; $m$ is the size of terms. Compared to the common EPR process, two additional variables Comb (an integer number) and $m$ (an integer number) are added to the vector of optimization variable in the proposed procedure. Firstly, all variables in initial generation are generated randomly within their domains. Next, the possible combination of correlating variables is selected according to the value of Comb and then a possible term size is chosen according to the value of $m$. Subsequently, a generated EPR model with unknown coefficients according to Eq. (5.6) is attained. Then, the vector of coefficients $\boldsymbol{a}$ is determined by regression between the measurements and predictions. Finally, the fitness SRM with $L_2$ regularization is computed to evaluate the performance of EPR model, which determines whether the formula can survive to next generation in the DE-evolution.

Once the stop criterion (e.g., the maximum number of generation) is reached, the whole process is exited; otherwise, the process will continue to the next generation.
With increasing the number of generation, the appropriate combination of correlating variables and term size will be automatically selected among numerous calculations. Moreover, through adjusting the regularization parameter, the most appropriate EPR model in terms of model complexity and generalization ability can be finally found.

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EPR 程序的性能主要取决于适应度函数。一个广泛使用的适应度函数是结构风险最小化 (SRM) [3],它 涉及在经验误差中添加模型复杂度项(模型的大小),并根据其大小惩䍐模型适应度。另一个问题是, 相对少量的数据会增加导致模型过拟合的风险,使得川训练误差很小,测试误差特别大,这会削弱 EPR 模 型的泛化能力。然后,使用正则化/惩罚函数(例如, $L_0, L_1$ 和 $L_2$ 正则化) 以避免过度拟合[4]。在各种 正则化中, $L_2$ 通常采用正则化[5]。因此,考虑到 SRM 的修正数学公式 $L_2$ 本研究采用正则化,如下所 示:
$$
\left.\mathrm{SRM}=\frac{\operatorname{SSE}}{N}\left(1-\sqrt{\left(\frac{n}{N}-\left(\frac{n}{N} \log \left(\frac{n}{N}\right)\right)+\left(\frac{\log \left(\frac{n}{N}\right)}{2 N}\right)\right.}\right)\right)^{-1}+\lambda|\omega|2^2 $$ 和 $$ \mathrm{SSE}=\sum{i=1}^N(\mathbf{Y} \mathbf{m}-\mathbf{Y} \mathbf{p})^2 \text { and }|\boldsymbol{\omega}|2^2=\sum{j=1}^n \boldsymbol{\omega} j=\boldsymbol{\omega}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\omega}
$$
在哪里 $N$ 是计算 SRM 的数据点的数量; $\mathbf{Y m}$ 是测量值的向量; $\mathbf{Y}_{\mathrm{p}}$ 是预测值的向量; $\boldsymbol{\omega}$ 是模型系数的向 量; $\lambda$ 是正则化参数,需要手动调整才能找到合适的值。

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一个可靠的 EPR 模型应该在预测能力和泛化能力之间进行合理的权衡。正如 Wood [6] 所述,基于实用性,简单而充分的模型受到青睐。因此,应提出一种结合模型选择过程的 EPR 程序,以在最小化训练误差的基础上确保模型足够“简单”。那么模型也可以具有良好的泛化性能(例如,测试误差也很小)。在这种情况下,模型选择涉及两个方面:选择合适的相关变量组合和合适的项大小。

数字5.2提出了建议的程序,其中一世是对应于 EPR 模型指数的决策变量;Comb 表示相关变量的组合数;米是术语的大小。与常见的 EPR 过程相比,两个附加变量 Comb(整数)和米(一个整数)被添加到建议过程中的优化变量的向量中。首先,初始生成中的所有变量都是在其域内随机生成的。接下来,根据 Comb 的值选择相关变量的可能组合,然后根据 Comb 的值选择可能的项大小米. 随后,根据方程式生成具有未知系数的 EPR 模型。(5.6) 达到。然后,系数向量一个由测量和预测之间的回归确定。最后,健身 SRM 与大号2计算正则化以评估 EPR 模型的性能,这决定了公式是否可以在 DE-evolution 中存活到下一代。

一旦达到停止标准(例如,最大生成次数),则退出整个过程;否则,这个过程将持续到下一代。
随着生成次数的增加,相关变量和术语大小的适当组合将在众多计算中自动选择。此外,通过调整正则化参数,最终可以找到在模型复杂度和泛化能力方面最合适的 EPR 模型。

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