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The lasso objective has the form $\mathcal{L}(\boldsymbol{w})=\mathrm{NLL}(\boldsymbol{w})+\lambda|\boldsymbol{w}|_1$. One can show (Exercise 11.3) that the gradient for the smooth NLL part is given by
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial w_d} \mathrm{NLL}(\boldsymbol{w}) &=a_d w_d-c_d \
a_d &=\sum_{n=1}^N x_{n d}^2 \
c_d &=\sum_{n=1}^N x_{n d}\left(y_n-\boldsymbol{w}{-d}^{\top} \boldsymbol{x}{n,-d}\right)
\end{aligned}
$$
where $\boldsymbol{w}{-d}$ is $\boldsymbol{w}$ without component $d$, and similarly $\boldsymbol{x}{n,-d}$ is feature vector $\boldsymbol{x}n$ without component $d$. We see that $c_d$ is proportional to the correlation between $d$ ‘th column of features, $\boldsymbol{x}{:, d}$, and the residual error obtained by predicting using all the other features, $\boldsymbol{r}{-d}=\boldsymbol{y}-\mathbf{X}{:,-d} \boldsymbol{w}{-d}$. Hence the magnitude of $c_d$ is an indication of how relevant feature $d$ is for predicting $\boldsymbol{y}$, relative to the other features and the current parameters. Setting the gradient to 0 gives the optimal update for $w_d$, keeping all other weights fixed: $$ w_d=c_d / a_d=\frac{\boldsymbol{x}{:, d}^{\top} r_{-d}}{\left|\boldsymbol{x}{:, d}\right|_2^2} $$ The corresponding new prediction for $\boldsymbol{r}{-d}$ becomes $\hat{\boldsymbol{r}}{-d}=w_d \boldsymbol{x}{:, d}$, which is the orthogonal projection of the residual onto the column vector $\boldsymbol{x}_{:, d}$, consistent with Equation (11.15).

Now we add in the $\ell_1$ term. Unfortunately, the $|\boldsymbol{w}|_1$ term is not differentiable whenever $w_d=0$. Fortunately, we can still compute a subgradient at this point. Using Equation (8.14) we find that
$$
\begin{aligned}
\partial_{w_d} \mathcal{L}(\boldsymbol{w}) &=\left(a_d w_d-c_d\right)+\lambda \partial_{w_d}|\boldsymbol{w}|_1 \
&=\left{\begin{array}{cl}
\left{a_d w_d-c_d-\lambda\right} & \text { if } w_d<0 \\ {\left[-c_d-\lambda,-c_d+\lambda\right]} & \text { if } w_d=0 \\ \left\{a_d w_d-c_d+\lambda\right\} & \text { if } w_d>0
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

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If $\lambda=0$, we get the OLS solution. which will be dense. As we increase $\lambda$, the solution vector $\hat{\boldsymbol{w}}(\lambda)$ will tend to get sparser. If $\lambda$ is bigger than some critical value, we get $\hat{\boldsymbol{w}}=\mathbf{0}$. This critical value is obtained when the gradient of the NLL cancels out with the gradient of the penalty:
$$
\lambda_{\max }=\max d\left|\nabla{w_d} \mathrm{NLL}(\mathbf{0})\right|=\max d c_d(\boldsymbol{w}=0)=\max _d\left|\boldsymbol{y}^{\top} \boldsymbol{x}{:, d}\right|=\left|\mathbf{X}^{\top} \boldsymbol{y}\right|_{\infty}
$$
Alternatively, we can work with the bound $B$ on the $\ell_1$ norm. When $B=0$, we get $\hat{\boldsymbol{w}}=\mathbf{0}$. As we increase $B$, the solution becomes denser. The largest value of $B$ for which any component is zero is given by $B_{\max }=\left|\hat{\boldsymbol{w}}_{\mathrm{mle}}\right|_1$.

As we increase $\lambda$, the solution vector $\hat{\boldsymbol{w}}$ gets sparser, although not necessarily monotonically. We can plot the values $\hat{w}_d$ vs $\lambda$ (or vs the bound $B$ ) for each feature $d$; this is known as the regularization path. This is illustrated in Figure 11.10(b), where we apply lasso to the prostate cancer regression dataset from [HTF09]. (We treat features gleason and svi as numeric, not categorical.) On the left,

when $B=0$, all the coefficients are zero. As we increase $B$, the coefficients gradually “turn on”. ${ }^2$ The analogous result for ridge regression is shown in Figure 11.10(a). For ridge, we see all coefficients are non-zero (assuming $\lambda>0$ ), so the solution is not sparse.

Remarkably, it can be shown that the lasso solution path is a piecewise linear function of $\lambda[\mathrm{Efr}+04$; GL15]. That is, there are a set of critical values of $\lambda$ where the active set of non-zero coefficients changes. For values of $\lambda$ between these critical values, each non-zero coefficient increases or decreases in a linear fashion. This is illustrated in Figure 11.10(b). Furthermore, one can solve for these critical values analytically [Efr+04]. In Table 11.1. we display the actual coefficient values at each of these critical steps along the regularization path (the last line is the least squares solution).

By changing $\lambda$ from $\lambda_{\max }$ to 0 , we can go from a solution in which all the weights are zero to a solution in which all weights are non-zero. Unfortunately, not all subset sizes are achievable using lasso. In particular, one can show that, if $D>N$, the optimal solution can have at most $N$ variables in it, before reaching the complete set corresponding to the OLS solution of minimal $\ell_1$ norm. In Section 11.4.8, we will see that by using an $\ell_2$ regularizer as well as an $\ell_1$ regularizer (a method known as the elastic net), we can achieve sparse solutions which contain more variables than training cases. This lets us explore model sizes between $N$ and $D$.

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晨索目标具有以下形式 $\mathcal{L}(\boldsymbol{w})=\mathrm{NLL}(\boldsymbol{w})+\lambda|\boldsymbol{w}|1$. 可以证明(练习 11.3) 平滑 NLL 部分的梯度由下式 给出 $$ \frac{\partial}{\partial w_d} \mathrm{NLL}(\boldsymbol{w})=a_d w_d-c_d a_d \quad=\sum{n=1}^N x_{n d}^2 c_d=\sum_{n=1}^N x_{n d}\left(y_n-\boldsymbol{w}-d^{\top} \boldsymbol{x} n,-d\right)
$$
在哪里 $\boldsymbol{w}-d$ 是 $\boldsymbol{w}$ 无组件 $d$ ,并且类似地 $\boldsymbol{x} n,-d$ 是特征向量 $\boldsymbol{x} n$ 无组件 $d$. 我们看到 $c_d$ 与之间的相关性成正 此,幅度 $c_d$ 指示特征的相关程度 $d$ 是为了预测 $\boldsymbol{y}$ ,相对于其他特征和当前参数。将梯度设置为 0 给出了最 佳更新 $w_d$ ,保持所有其他权重固定:
$$
w_d=c_d / a_d=\frac{\boldsymbol{x}:, d^{\top} r_{-d}}{|\boldsymbol{x}:, d|2^2} $$ 对应的新预测为 $\boldsymbol{r}-d$ 变成 $\hat{r}-d=w_d \boldsymbol{x}:, d$ ,这是残差在列向量上的正交投影 $\boldsymbol{x}{:, d}$ ,与方程 (11.15) $-$ 致。
现在我们添加頃学期。不辛的是, $|\boldsymbol{w}|1$ 术语是不可微分的 $w_d=0$. 辛运的是,此时我们仍然可以计算次 梯度。使用方程 (8.14) 我们发现 $\$ \$$ $\backslash$ begin{aligned $}$ W_d $\left.{-} d\right} \backslash$ boldsymbol{w}|_1 $\backslash$
$\&=\backslash$ left $}$
址确的。

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如果 $\lambda=0$ ,我们得到OLS解。这将是密集的。随着我们增加 $\lambda$ ,解向量 $\hat{w}(\lambda)$ 会趋于稀疏。如果 $\lambda$ 大于某 个临界值,我们得到 $\hat{\boldsymbol{w}}=\mathbf{0}$. 当 $\mathrm{NLL}$ 的梯度与惩罚的梯度相抵消时,就获得了这个临界值:
$$
\lambda_{\max }=\max d\left|\nabla w_d \mathrm{NLL}(\mathbf{0})\right|=\max d c_d(\boldsymbol{w}=0)=\max d\left|\boldsymbol{y}^{\top} \boldsymbol{x}:, d\right|=\left|\mathbf{X}^{\top} \boldsymbol{y}\right|{\infty}
$$
或者,我们可以使用边界 $B$ 在 $\ell_1$ 规范。什么时候 $B=0$ ,我们得到 $\hat{w}=0$. 随着我们增加 $B$ ,溶液变得更 稠密。的最大值 $B$ 任何分量为雴的由下式给出 $B_{\max }=\left|\hat{\boldsymbol{w}}{\mathrm{mle}}\right|_1$. 随着我们增加 $\lambda$ ,解向量 $\hat{w}$ 变得更稀疏,尽管不一定是单调的。我们可以絵制值 $\hat{w}_d$ 对比 $\lambda($ 或与界限 $B$ ) 对于每个特征 $d$; 这被称为正则化路径。这在图 11.10(b) 中进行了说明,我们将 lasso 应用于来自 [HTF09] 的前列腺癌回归数据集。(我们将特征 gleason 和 svi 视为数字,而不是分类。) 在左边, 什么时候 $B=0$ ,所有系数都为雺。随着我们增加 $B$ ,系数逐渐“开启“。岭回归的类似结果如图 $11.10$ (a) 所示。对于岭,我们看到所有系数都不为零(假设 $\lambda>0$ ),所以解不是稀疏的。 值得注意的是,可以证明 lasso 解路径是一个分段线性函数 $\lambda[\mathrm{Efr}+04 ; \mathrm{GL} 15]$ 。也就是说,有一组临界 值 $\lambda$ 其中非零系数的活动集发生变化。对于值 $\lambda$ 在这些临界值之间,每个非零系数以线性方式增加或减 少。如图 $11.10$ (b) 所示。此外,人们可以解析地求解这些临界值 [Efr 04]。在表 $11.1$ 中。我们在正则化 路径的每个关键步骤中显示实际系数值 (最后一行是最小二乘解) 。 通过改变 $\lambda 从 \lambda{\text {max }}$ 到 0 ,我们可以从所有权重都为雺的解决方案转到所有权重都不为零的解决方案。不 幸的是,并非所有子集大小都可以使用套索来实现。特别是,可以证明,如果 $D>N$ ,最优解最多可以 有 $N$ 其中的变量,在达到对应于最小 OLS 解的完整集之前 $\ell_1$ 规范。在 11.4.8 节中,我们将看到通过使用 $\ell_2$ 正则化器以及 $\ell_1$ 正则化器 (一种称为弹性网络的方法),我们可以实现包含比训练案例更多变量的稀 疏解决方案。这让我们可以探索模型大小 $N$ 和 $D$.

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