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数学代写|机器学习代写machine learning代考|Variable selection consistency

It is common to use $\ell_1$ regularization to estimate the set of relevant variables, a process known as variable selection. A method that can recover the true set of relevant variables (i.e., the support of $\boldsymbol{w}^*$ ) in the $N \rightarrow \infty$ limit is called model selection consistent. (This is a theoretical notion that assumes the data comes from the model.)

Let us give an example. We first generate a sparse signal $\boldsymbol{w}^$ of size $D=4096$, consisting of 160 randomly placed $\pm 1$ spikes. Next we generate a random design matrix $\mathbf{X}$ of size $N \times D$, where $N=1024$. Finally we generate a noisy observation $\boldsymbol{y}=\mathbf{X} \boldsymbol{w}^+\epsilon$, where $\epsilon_n \sim \mathcal{N}\left(0,0.01^2\right)$. We then estimate $\boldsymbol{w}$ from $\boldsymbol{y}$ and $\mathbf{X}$. The original $\boldsymbol{w}^*$ is shown in the first row of Figure 11.13. The second row is the $\ell_1$ estimate $\hat{\boldsymbol{w}}{L 1}$ using $\lambda=0.1 \lambda{\max }$. We see that this has “spikes” in the right places, so it has correctly identified the relevant variables. However, although we see that $\hat{\boldsymbol{w}}{L 1}$ has correctly identified the non-zero components, but they are too small, due to shrinkage. In the third row, we show the results of using the debiasing technique discussed in Section 11.4.3. This shows that we can recover the original weight vector. By contrast, the final row shows the OLS estimate, which is dense. Furthermore, it is visually clear that there is no single threshold value we can apply to $\hat{\boldsymbol{w}}{\text {mle }}$ to recover the correct sparse weight vector.

To use lasso to perform variable selection, we have to pick $\lambda$. It is common to use cross validation to pick the optimal value on the regularization path. However, it is important to note that cross validation is picking a value of $\lambda$ that results in good predictive accuracy. This is not usually the same value as the one that is likely to recover the “true” model. To see why, recall that $\ell_1$ regularization performs sclection and shrinkage, that is, the chosen coefficients are brought closer to 0 . In order to prevent relevant coefficients from being shrunk in this way, cross validation will tend to pick a value of $\lambda$ that is not too large. Of course, this will result in a less sparse model which contains irrelevant variables (false positives). Indeed, it was proved in [MB06] that the prediction-optimal value of $\lambda$ does not result in model selection consistency. However, various extensions to the basic method have been devised that are model selection consistent (see e.g., [BG11; HTW15]).

数学代写|机器学习代写machine learning代考|Penalizing the two-norm

To encourage group sparsity, we partition the parameter vector into $G$ groups, $\boldsymbol{w}=\left[\boldsymbol{w}1, \ldots, \boldsymbol{w}_G\right]$. Then we minimize the following objective $$ \operatorname{PNLL}(\boldsymbol{w})=\mathrm{NLL}(\boldsymbol{w})+\lambda \sum{g=1}^G\left|\boldsymbol{w}g\right|_2 $$ where $\left|\boldsymbol{w}_g\right|_2=\sqrt{\sum{d \in g} w_d^2}$ is the 2-norm of the group weight vector. If the NLL is least squares, this method is called group lasso [YL06; Kyu $+10]$.

Note that if we had used the sum of the squared 2-norms in Equation (11.97), then the model would become equivalent to ridge regression, since
$$
\sum_{g=1}^G\left|\boldsymbol{w}g\right|_2^2=\sum_g \sum{d \in g} w_d^2=|\boldsymbol{w}|_2^2
$$
By using the square root, we are penalizing the radius of a ball containing the group’s weight vector: the only way for the radius to be small is if all elements are small.

Another way to see why the square root version enforces sparsity at the group level is to consider the gradient of the objective. Suppose there is only one group of two variables, so the penalty has the form $\sqrt{w_1^2+w_2^2}$. The derivative wrt $w_1$ is
$$
\frac{\partial}{\partial w_1}\left(w_1^2+w_2^2\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{w_1}{\sqrt{w_1^2+w_2^2}}
$$
If $w_2$ is close to zero, then the derivative approaches 1 , and $w_1$ is driven to zero as well, with force proportional to $\lambda$. If, however, $w_2$ is large, the derivative approaches 0 , and $w_1$ is free to stay large as well. So all the coefficients in the group will have similar size.

数学代写|机器学习代写machine learning代考|CS446

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数学代写|机器学习代写machine learning代考|Variable selection consistency

使用很常见ℓ1正则化来估计相关变量的集合,这个过程称为变量选择。一种可以恢复真实的相关变量集的方法(即支持在∗) 在里面ñ→∞限制称为模型选择一致。(这是一个假设数据来自模型的理论概念。)

让我们举个例子。我们首先生成一个稀疏信号\ 粗体符号 {w} ^\ 粗体符号 {w} ^大小的D=4096,由 160 个随机放置的±1尖峰。接下来我们生成一个随机设计矩阵X大小的ñ×D, 在哪里ñ=1024. 最后我们产生一个嘈杂的观察是=X在+ε, 在哪里εn∼ñ(0,0.012). 然后我们估计在从是和X. 原本的在∗如图 11.13 的第一行所示。第二行是ℓ1估计在^大号1使用l=0.1l最大限度. 我们看到它在正确的地方有“尖峰”,因此它正确识别了相关变量。然而,虽然我们看到在^大号1已正确识别出非零分量,但由于收缩,它们太小了。在第三行中,我们展示了使用第 11.4.3 节中讨论的去偏技术的结果。这表明我们可以恢复原始的权重向量。相比之下,最后一行显示的是密集的 OLS 估计。此外,从视觉上很明显,我们没有可以应用的单一阈值在^米勒 恢复正确的稀疏权重向量。

要使用 lasso 执行变量选择,我们必须选择l. 通常使用交叉验证来选择正则化路径上的最优值。但是,重要的是要注意交叉验证选择的值l这导致良好的预测准确性。这通常与可能恢复“真实”模型的值不同。要了解原因,请回想一下ℓ1正则化执行 sclection 和 shrinkage,也就是说,选择的系数更接近 0。为了防止相关系数以这种方式收缩,交叉验证将倾向于选择一个值l这不是太大。当然,这将导致包含不相关变量(误报)的稀疏模型更少。实际上,[MB06] 证明了l不会导致模型选择的一致性。然而,已经设计了对基本方法的各种扩展,这些扩展与模型选择一致(参见例如[BG11;HTW15])。

数学代写|机器学习代写machine learning代考|Penalizing the two-norm

为了鼓励组稀疏性,我们将参数向量划分为 $G$ 团体, $\boldsymbol{w}=\left[\boldsymbol{w} 1, \ldots, \boldsymbol{w}G\right]$. 然后我们最小化以下目标 $$ \operatorname{PNLL}(\boldsymbol{w})=\mathrm{NLL}(\boldsymbol{w})+\lambda \sum g=1^G|\boldsymbol{w} g|_2 $$ 在哪里 $\left|\boldsymbol{w}_g\right|_2=\sqrt{\sum d \in g w_d^2}$ 是组权重向量的 2 范数。如果 $N L L$ 是最小二乘,这种方法称为组套索 [YL06; 圭+10]. 请注意,如果我们在方程 (11.97) 中使用了 2 范数的平方和,那么模型将等效于岭回归,因为 $$ \sum{g=1}^G|\boldsymbol{w} g|_2^2=\sum_g \sum d \in g w_d^2=|\boldsymbol{w}|_2^2
$$
通过使用平方根,我们彺罚了包含组权重向量的球的半径: 使半径变小的唯一方法是所有元雔都很小。
另一种了解平方根版本为何在组级别强制稀疏的方法是考虑目标的梯度。假设只有一组两个变量,所以 罚分的形式为 $\sqrt{w_1^2+w_2^2}$. 导数 wrt $w_1$ 是
$$
\frac{\partial}{\partial w_1}\left(w_1^2+w_2^2\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{w_1}{\sqrt{w_1^2+w_2^2}}
$$
如果 $w_2$ 接近于零,则导数接近 1 ,并且 $w_1$ 也被驱动为零,力与 $\lambda$. 然而,如果, $w_2$ 很大,导数接近 0 , 并且 $w_1$ 也可以自由保持大。所以组中的所有系数都将具有相似的大小。

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