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金融代写|投资组合代写Investment Portfolio代考|ARBITRAGE, THE LAW OF ONE PRICE, AND EXISTENCE OF SDFs

The remainder of this chapter analyzes the existence and structure of SDFs without reference to the first-order condition (3.7). This section describes two important concepts regarding securities markets and the relations of the concepts to the existence of SDFs. A summary of the results is as follows:
Existence of Strictly Positive SDF $\Leftrightarrow$ No Arbitrage Opportunities
$\Rightarrow \quad$ Law of One Price
$\Leftrightarrow \quad$ Existence of SDF
Let $n$ denote the number of assets, including the risk-free asset if it exists. Set $p=\left(p_1 \cdots p_n\right)^{\prime}$, and interpret a portfolio $\theta$ as a column vector. A random variable $\tilde{x}$ is said to be a marketed payoff if it is the payoff of a portfolio, meaning that $\tilde{x}=\sum_{i=1}^n \theta_i \tilde{x}i$ for some $\theta \in \mathbb{R}^n$. The “law of one price” is said to hold if each marketed payoff has a unique cost. This means that if there are two portfolios producing the same payoff, then they have the same cost. Mathematically, $$ \left(\forall \theta, \hat{\theta} \in \mathbb{R}^n\right) \quad \sum{i=1}^n \theta_i \tilde{x}i=\sum{i=1}^n \hat{\theta}_i \tilde{x}_i \Rightarrow p^{\prime} \theta=p^{\prime} \hat{\theta} .
$$
When we write equality of two random variables (as for the portfolio payoffs here), we always mean that they are equal with probability 1.

An arbitrage opportunity is defined to be a portfolio $\theta$ satisfying
(i) $p^{\prime} \theta \leq 0$,
(ii) $\sum_{i-1}^n \theta_i \tilde{x}i \geq 0$ with probability 1 , and (iii) either $p^{\prime} \theta<0$ or $\sum{i=1}^n \theta_i \tilde{x}_i>0$ with positive probability (or both).

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If the law of one price holds, then there is an SDF. Thus, the price $p^{\prime} \theta$ of any payoff $\sum_{i=1}^n \theta_i \tilde{x}i$ can be computed as $\mathrm{E}\left[\tilde{m} \sum{i=1}^n \theta_i \tilde{x}_i\right]$ for some $\tilde{m}$. In fact, the law of one price is equivalent to the existence of an SDF. This is true with infinitely many states of the world (limiting attention to payoffs with finite variances), but it is easier to see when there are only finitely many states.

For the remainder of this section, suppose there are $k$ possible states of the world. We make no assumptions regarding the number of states versus the number of assets, so $k$ can be smaller than, equal to, or larger than $n$. Denote the payoff of asset $i$ in state $j$ as $x_{i j}$. A state-price vector is defined to be a vector $\left(q_1 \cdots q_k\right)$ satisfying
$$
\left(\begin{array}{ccc}
x_{11} & \cdots & x_{1 k} \
\vdots & \vdots & \vdots \
x_{n 1} & \cdots & x_{n k}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
q_1 \
\vdots \
q_k
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
p_1 \
\vdots \
p_n
\end{array}\right) .
$$
This equation means that the price $p_i$ of each asset $i$ equals the sum of the payoffs of asset $i$ in the various states of the world multiplied by the state price of each state. As discussed in the introduction to this chapter, a state price is the price of the Arrow security that pays 1 unit of the consumption good in that state and 0 in all other states. Denote the matrix in (3.15) by $X$ and denote the vectors by $q$ and $p$, so we can write $(3.15)$ as
$$
X q=p
$$

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本章的其余部分在不参考一阶条件 (3.7) 的情况下分析 SDF 的存在和结构。本节介绍有关证券市场的两
个重要概念以及这些概念与 SDF 存在的关系。结果总结如下:
存在严格正 SDF $\Leftrightarrow$ 没有镸利机会
$\Rightarrow$ 一价定律
$\Leftrightarrow$ 存在 SDF
让 $n$ 表示资产的数量,包括无风险资产 (如果存在) 。放 $p=\left(p_1 \cdots p_n\right)^{\prime}$ ,并解释投资组合 $\theta$ 作为列向 量。随机变量 $\tilde{x}$ 如果它是投资组合的收益,则称为市场收益,这意味着 $\tilde{x}=\sum_{i=1}^n \theta_i \tilde{x} i$ 对于一些 $\theta \in \mathbb{R}^n$. 如果每个市场收益都有一个独特的成本,那么”一价定律”就成立了。这意味着如果有两个投资组合产生 相同的收益,那么它们的成本相同。数学上,
$$
\left(\forall \theta, \hat{\theta} \in \mathbb{R}^n\right) \quad \sum i=1^n \theta_i \tilde{x} i=\sum i=1^n \hat{\theta}i \tilde{x}_i \Rightarrow p^{\prime} \theta=p^{\prime} \hat{\theta} $$ 当我们写出两个随机变量的相等性 (至于这里的投资组合收益) 时,我们总是意味着它们以概率 1 相 等。 農利机会被定义为投赕组合 $\theta$ 满足 $$ \text { (-) } p^{\prime} \theta \leq 0 \text {, } $$ (ii) $\sum{i-1}^n \theta_i \tilde{x} i \geq 0$ 概率为 1 ,并且 (iii) 要么 $p^{\prime} \theta<0$ 或者 $\sum i=1^n \theta_i \tilde{x}_i>0$ 具有正概率 (或两者)。

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如果一价定律成立,则存在 SDF。因此,价格 $p^{\prime} \theta$ 任何回报 $\sum_{i=1}^n \theta_i \tilde{x} i$ 可以计算为 $\mathrm{E}\left[\tilde{m} \sum i=1^n \theta_i \tilde{x}i\right]$ 对于一些 $\tilde{m}$. 事实上,一价定律等价于一个 SDF 的存在。这适用于世界上无限多的状态 (将注意力限制 在具有有限方差的回报上),但是当只有有限多个状态时更容易看出。 对于本节的其余部分,假设有 $k$ 世界的可能状态。我们没有对状态数量与资产数量做任何假设,所以 $k$ 可 以小于、等于或大于 $n$. 表示资产的回报 $i$ 处于状态 $j$ 作为 $x{i j}$. 一个状态价格向量被定义为一个向量 $\left(q_1 \cdots q_k\right)$ 令人满意的
这个等式意味着价格 $p$ 每项资产的 $i$ 等于资产收益的总和 $i$ 在世界各个国家乘以每个国家的国家价格。正 如本章导言中所讨论的,一个州的价格是指在该州支付 1 单位消费品而在所有其他州支付 0 单位的 Arrow 证券的价格。将 (3.15) 中的矩阵表示为 $X$ 并将向量表示为 $q$ 和 $p$ ,所以我们可以写 $(3.15)$ 作为
$$
X q=p
$$

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