# 数学竞赛代写|滑铁卢数学竞赛代写Waterloo Math Contest代考|2021 Canadian Senior Mathematics Contest Solutions

## 数学竞赛代写|滑铁卢数学竞赛代写Waterloo Math Contest代考|Let t be a real number.

Since $\log _a\left(b^c\right)=c \log _a b$, then
\begin{aligned} \log _2\left(x^2\right) &=2 \log _2 x \ \log _2\left(x^3\right) &=3 \log _2 x \ 2 \log _x 8 &=2 \log _x\left(2^3\right)=2 \cdot 3 \log _x 2=6 \log _x 2 \ 20 \log _x(32) &=20 \log _x\left(2^5\right)=20 \cdot 5 \log _x 2=100 \log _x 2 \end{aligned}
Let $t=\log _2 x$.
Since $x$ is also the base of a logarithm in the equation, then $x \neq 1$, which means that $t \neq 0$. Therefore,
$$\log _x 2=\frac{\log 2}{\log x}=\frac{1}{(\log x) /(\log 2)}=\frac{1}{\log _2 x}=\frac{1}{t}$$
Starting with the original equation, we obtain the following equivalent equations:
\begin{aligned} \log _2\left(x^2\right)+2 \log _x 8 &=\frac{392}{\log _2\left(x^3\right)+20 \log _x(32)} \ 2 \log _2 x+6 \log _x 2 &=\frac{392}{3 \log _2 x+100 \log _x 2} \ 2 t+\frac{6}{t} &=\frac{392}{3 t+\frac{100}{t}} \quad \text { (using } t \ \frac{2 t^2+6}{t} &=\frac{392 t}{3 t^2+100} \quad \text { (since } t \ \frac{t^2+3}{t} &=\frac{196 t}{3 t^2+100} \ \left(t^2+3\right)\left(3 t^2+100\right) &=196 t^2 \ 3 t^4+109 t^2+300 &=196 t^2 \ 3 t^4-87 t^2+300 &=0 \ t^4-29 t^2+100 &=0 \ \left(t^2-25\right)\left(t^2-4\right) &=0 \ (t+5)(t-5)(t+2)(t-2) &=0 \end{aligned}
Therefore, $t=-5$ or $t=5$ or $t=-2$ or $t=2$.
Thus, $\log _2 x=-5$ or $\log _2 x=5$ or $\log _2 x=-2$ or $\log _2 x=2$.
Thus, $x=2^{-5}=\frac{1}{32}$ or $x=2^5=32$ or $x=2^{-2}=\frac{1}{4}$ or $x=2^2=4$.
We can check by substitution that each of these values of $x$ is indeed a solution to the original equation.

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1. (a) The expression $x^2-4$ is a difference of squares which can be factored as
$$x^2-4=(x+2)(x-2)$$
(b) Using (a) with $x=98$, we obtain $98^2-4=(98+2)(98-2)=100 \cdot 96$ and so $k=96$. Alternatively, $98^2-4=9604-4=9600=100 \cdot 96$ which gives $k=96$.
(c) If $(20-n)(20+n)=391$, then $20^2-n^2=391$.
This gives $400-n^2=391$ from which we obtain $n^2=9$ and so $n=\pm 3$.
Since $n$ is positive, then $n=3$.
We can verify that $17 \cdot 23=391$.
(d) We note that $3999991=4000000-9=2000^2-3^2=(2000+3)(2000-3)=2003 \cdot 1997$.
Since we have written 3999991 as the product of two positive integers that are each greater than 1 , we can conclude that 3999991 is not a prime number.
2. (a) Consider a Leistra sequence with $a_1=216$.
In the sequence, $a_2$ must be an even integer of the form $a_2=\frac{a_1}{d}=\frac{216}{d}$ where $d$ is an integer between 10 and 50 , inclusive.
Since $216=6^3=2^3 \times 3^3$, the positive divisors of 216 are
$$1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,27,36,54,72,108,216$$
From this list, the divisors of 216 that are between 10 and 50 are $12,18,24,27,36$.
The quotients when 216 is divided by these integers are $18,12,9,8,6$, respectively.
Since $a_2$ is even, then we can have $a_2=18$ (with $d=12$ ) or $a_2=12$ (with $d=18$ ) or $a_2=8$ (with $d=27$ ) or $a_2=6$ (with $d=36$ ).
If $a_2=18$, there is no possible $a_3$ since the only divisor of $a_2=18$ that is greater than 10 is 18 and this would give $a_3=1$ which is not even.
If $a_2=12$, there is no possible $a_3$ since the only divisor of $a_2=12$ that is greater than 10 is 12 and this would give $a_3=1$ which is not even.
If $a_2=8$ or $a_2=6$, there is no divisor larger than 10 .
This means that no Leistra sequence starting with $a_1=216$ can have more than two terms.
Therefore, there are four Leistra sequences with $a_1=216$, namely 216,18 and 216,12 and 216,8 and 216,6 .

# 滑铁卢数学竞赛代考

## 数学竞赛代写|滑铁卢数学竞赛代写Waterloo Math Contest代考|Let t be a real number.

$$\log _2\left(x^2\right)=2 \log _2 x \log _2\left(x^3\right) \quad=3 \log _2 x 2 \log _x 8=2 \log _x\left(2^3\right)=2 \cdot 3 \log _x 2=6 \log _x 220 \log _x(32)$$

$$\log _x 2=\frac{\log 2}{\log x}=\frac{1}{(\log x) /(\log 2)}=\frac{1}{\log _2 x}=\frac{1}{t}$$

$$\log _2\left(x^2\right)+2 \log _x 8=\frac{392}{\log _2\left(x^3\right)+20 \log _x(32)} 2 \log _2 x+6 \log _x 2 \quad=\frac{392}{3 \log _2 x+100 \log _x 2} 2 t+\frac{6}{t}=$$

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1. (a) 表达式 $x^2-4$ 是平方差，可以分解为
$$x^2-4=(x+2)(x-2)$$
(b) 将 (a) 与 $x=98$ ，我们获得 $98^2-4=(98+2)(98-2)=100 \cdot 96$ 所以 $k=96$. 或者， $98^2-4=9604-4=9600=100 \cdot 96$ 这使 $k=96$.
(c) 如果 $(20-n)(20+n)=391$ ， 然后 $20^2-n^2=391$.
这给 $400-n^2=391$ 我们从中获得 $n^2=9$ 所以 $n=\pm 3$.
自从 $n$ 为正，则 $n=3$.
我们可以验证 $17 \cdot 23=391$.
(d) 我们注意到 $3999991=4000000-9=2000^2-3^2=(2000+3)(2000-3)=2003 \cdot 1997$
由于我们将 3999991 写为两个均大于 1 的正整数的乘积，因此我们可以得出结论 3999991 不是素 数。
2. (a) 考虑一个 Leistra 序列 $a_1=216$.
在序列中， $a_2$ 必须是形式的偶数 $a_2=\frac{a_1}{d}=\frac{216}{d}$ 在哪里 $d$ 是 10 和 50 之间的整数，包括 10 和 50 。 自从 $216=6^3=2^3 \times 3^3, 216$ 的正除数是
$$1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,27,36,54,72,108,216$$
从这个列表中， 216 的除数在 10 到 50 之间是 $12,18,24,27,36$.
216 除以这些整数的商是 $18,12,9,8,6$ ，分别。
自从 $a_2$ 是偶数，那么我们可以有 $a_2=18\left(\right.$ (和 $d=12$ ) 或者 $a_2=12$ (和 $d=18$ ) 或者 $a_2=8$ （和 $d=27$ ）或者 $a_2=6$ (和 $\left.d=36\right)$ 。
如果 $a_2=18$, 不可能 $a_3$ 因为唯一的除数 $a_2=18$ 大于 10 是 18 ，这将给出 $a_3=1$ 这不是均匀的。
如果 $a_2=12$, 不可能 $a_3$ 因为唯一的除数 $a_2=12$ 大于 10 是 12 ，这将给出 $a_3=1$ 这不是均匀的。
如果 $a_2=8$ 或者 $a_2=6$, 没有大于 10 的除数。
这意味着没有 Leistra 序列以 $a_1=216$ 可以有两个以上的术语。
因此，有四个 Leistra 序列 $a_1=216$ ，即 216,18 和 216,12 和 216,8 和 216,6 。

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