数学和计算机竞赛对来自世界各地具有不同能力的学生提出挑战，以增长宝贵的解决问题的技能。参加竞赛不是入学的要求，但我们强烈鼓励你参加，因为它是你申请的财富，可以帮助学院做出奖学金决定。我们鼓励你去看看欧几里德数学竞赛和/或加拿大高级数学竞赛（CSMC）。
我们建议计算机科学专业的申请人参加加拿大计算机竞赛（CCC），尽管这不是入学要求。该竞赛的目的是为学生提供一个机会，测试他们在设计和理解算法以及编程方面的能力。竞赛的获胜者将被邀请参加滑铁卢的计算机科学强化讲习班，你可以在你的入学信息表上注明你参加了竞赛。
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Since these divisors can be used in any order, there are 17 such sequences, as in (c).
Case $3: 27$ and 36
The divisor 36 can only be used once, otherwise too many factors of 2 would be removed. Since $36 \times 27^{15}=2^2 \times 3^{47}$ and $36 \times 27^{16}=2^2 \times 3^{50}$ and $36 \times 27^{17}=2^2 \times 3^{53}$, then the divisor of 27 must be used exactly 16 times.
Therefore, Leistra sequences can be formed by using exactly 16 divisors equal to 27 and 1 divisor equal to 36 .
Since these divisors can be used in any order, there are 17 such sequences, as in (c).
Case 4: 27 and two $18 \mathrm{~s}$
Note that 18 cannot be used more than two times and that 18 cannot be combined with 12 or 36 , otherwise the remaining quotient would be either odd or not an integer.
Since $18^2 \times 27^{14}=2^2 \times 3^{46}$ and $18^2 \times 27^{15}=2^2 \times 3^{49}$ and $18^2 \times 27^{16}=2^2 \times 3^{52}$, then the divisor of 27 must be used exactly 15 times.
Therefore, Leistra sequences can be formed by using exactly 15 divisors equal to 27 and 2 divisors equal to 18 .
There are $\left(\begin{array}{c}17 \ 2\end{array}\right)=\frac{17 \times 16}{2}=136$ ways of choosing 2 of the 17 positions in the sequence of divisors for the 18 s to be placed. The remaining spots are filled with $27 \mathrm{~s}$.
Therefore, there are 136 such sequences.
Case 5: 27 and one 18
Since $18 \times 27^{15}=2 \times 3^{47}$ and $18 \times 27^{16}=2 \times 3^{50}$ and $18 \times 27^{17}=2 \times 3^{53}$, then the divisor of 27 must be used exactly 16 times, leaving a final term of $2^2=4$.
As in Case 2 and Case 3 , there are 17 such sequences.
Having considered all possibilities, there are $17+17+136+17=187$ Leistra sequences with $a_1=2^3 \times 3^{50}$.
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(a) Using $f(x+y)=f(x) g(y)+g(x) f(y)$ with $x=y=0$, we obtain $f(0)=2 f(0) g(0)$.
From this, we get $f(0)(2 g(0)-1)=0$.
Thus, $f(0)=0$ or $g(0)=\frac{1}{2}$.
Using $g(x+y)=g(x) g(y)-f(x) f(y)$ with $x=y=0$, we obtain $g(0)=(g(0))^2-(f(0))^2$.
If $g(0)=\frac{1}{2}$, we obtain $\frac{1}{2}=\frac{1}{4}-(f(0))^2$ which gives $(f(0))^2=-\frac{1}{4}$.
Since $f(0)$ is real, then $(f(0))^2 \geq 0$ and so $(f(0))^2 \neq-\frac{1}{4}$.
Thus, $g(0) \neq \frac{1}{2}$, which means that $f(0)=0$.
Since $f(a) \neq 0$ for some real number $a$, setting $x=a$ and $y=0$ gives
$$
f(a+0)=f(a) g(0)+g(a) f(0)
$$
Since $f(0)=0$, we obtain $f(a)=f(a) g(0)$.
Since $f(a) \neq 0$, we can divide by $f(a)$ to obtain $g(0)=1$.
Therefore, $f(0)=0$ and $g(0)=1$.
(We note that the functions $f(x)=\sin x$ and $g(x)=\cos x$ satisfy the given conditions, so there does exist at least one Payneful pair of functions.)
滑铁卢数学竞赛代考
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由于这些除数可以按任何顺序使用，因此有 17 个这样的序列，如 (c) 所示。
案子 $3: 27$ 和 36
除数 36 只能使用一次，否则会去除太多的 2 因数。自从 $36 \times 27^{15}=2^2 \times 3^{47}$ 和 $36 \times 27^{16}=2^2 \times 3^{50}$ 和 $36 \times 27^{17}=2^2 \times 3^{53}$ ，那么 27 的除数必须正好使用 16 次。 因此，Leistra 序列可以通过使用恰好等于 27 的 16 个除数和等于 36 的 1 个除数来形成。 由于这些除数可以按任何顺序使用，因此有 17 个这样的序列，如 (c) 所示。 案例4：27和 $218 \mathrm{~s}$
请注意， 18 不能使用超过两次，并且 18 不能与 12 或 36 组合，否则剩余的商将是奇数或不是整数。 自从 $18^2 \times 27^{14}=2^2 \times 3^{46}$ 和 $18^2 \times 27^{15}=2^2 \times 3^{49}$ 和 $18^2 \times 27^{16}=2^2 \times 3^{52}$ ，那么 27 的除数必 须正好使用 15 次。
因此，Leistra 序列可以通过使用恰好等于 27 的 15 个除数和等于 18 的 2 个除数来形成。
有 $(172)=\frac{17 \times 16}{2}=136$ 在要放置的 $18 \mathrm{~s}$ 的除数序列中选择 17 个位置中的 2 个的方法。剩下的点都 填满了27 s.
因此，有 136 个这样的序列。案例5：27
和一个 18
$18 \times 27^{15}=2 \times 3^{47}$ 和 $18 \times 27^{16}=2 \times 3^{50}$ 和 $18 \times 27^{17}=2 \times 3^{53}$ ，那么 27 的除数必须正好使用 16 次，留下最后一项 $2^2=4$.
在案例 2 和案例 3 中，有 17 个这样的序列。
考虑了所有的可能性，有 $17+17+136+17=187$ Leistra 序列 $a_1=2^3 \times 3^{50}$.
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(a) 使用 $f(x+y)=f(x) g(y)+g(x) f(y)$ 和 $x=y=0$ ，我们获得 $f(0)=2 f(0) g(0)$. 由此，我们得到 $f(0)(2 g(0)-1)=0$.
因此， $f(0)=0$ 或者 $g(0)=\frac{1}{2}$.
使用 $g(x+y)=g(x) g(y)-f(x) f(y)$ 和 $x=y=0$ ，我们获得 $g(0)=(g(0))^2-(f(0))^2$. 如果 $g(0)=\frac{1}{2}$ ，我们获得 $\frac{1}{2}=\frac{1}{4}-(f(0))^2$ 这使 $(f(0))^2=-\frac{1}{4}$.
自从 $f(0)$ 是真实的，那么 $(f(0))^2 \geq 0$ 所以 $(f(0))^2 \neq-\frac{1}{4}$.
因此， $g(0) \neq \frac{1}{2}$ ， 意思就是 $f(0)=0$.
自从 $f(a) \neq 0$ 对于一些实数 $a$ ，环境 $x=a$ 和 $y=0$ 给
$$
f(a+0)=f(a) g(0)+g(a) f(0)
$$
自从 $f(0)=0 ，$ 我们获得 $f(a)=f(a) g(0)$.
自从 $f(a) \neq 0$ ，我们可以除以 $f(a)$ 获得 $g(0)=1$.
所以, $f(0)=0$ 和 $g(0)=1$.
(我们注意到函数 $f(x)=\sin x$ 和 $g(x)=\cos x$ 满足给定条件，因此确实存在至少一对 Payneful 函 数。)
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