数学和计算机竞赛对来自世界各地具有不同能力的学生提出挑战,以增长宝贵的解决问题的技能。参加竞赛不是入学的要求,但我们强烈鼓励你参加,因为它是你申请的财富,可以帮助学院做出奖学金决定。我们鼓励你去看看欧几里德数学竞赛和/或加拿大高级数学竞赛(CSMC)。

我们建议计算机科学专业的申请人参加加拿大计算机竞赛(CCC),尽管这不是入学要求。该竞赛的目的是为学生提供一个机会,测试他们在设计和理解算法以及编程方面的能力。竞赛的获胜者将被邀请参加滑铁卢的计算机科学强化讲习班,你可以在你的入学信息表上注明你参加了竞赛。


数学竞赛代写|滑铁卢数学竞赛代写Waterloo Math Contest代考|2020 Canadian Senior Mathematics Contest Solutions

(a) When $p=33$ and $q=216$,
$$
f(x)=x^3-33 x^2+216 x=x\left(x^2-33 x+216\right)=x(x-9)(x-24)
$$
since $9+24=33$ and $9 \cdot 24=216$, and
$$
g(x)=3 x^2-66 x+216=3\left(x^2-22 x+72\right)=3(x-4)(x-18)
$$
since $4+18=22$ and $4 \cdot 18=72$.
Therefore, the equation $f(x)=0$ has three distinct integer roots (namely $x=0, x=9$ and $x=24$ ) and the equation $g(x)=0$ has two distinct integer roots (namely $x=4$ and $x=18$ ).
(b) Suppose first that the equation $f(x)=0$ has three distinct integer roots.
Since $f(x)=x^3-p x^2+q x=x\left(x^2-p x+q\right)$, then these roots are $x=0$ and the roots of the quadratic equation $x^2-p x+q=0$ which are
$$
x=\frac{p \pm \sqrt{p^2-4(1) q}}{2(1)}=\frac{p \pm \sqrt{p^2-4 q}}{2}
$$
For the roots of $x^2-p x+q=0$ to be distinct, we need $p^2-4 q$ to be positive.
For the roots of $x^2-p x+q=0$ to be integers, we need each of $p \pm \sqrt{p^2-4 q}$ to be an integer, which means that $\sqrt{p^2-4 q}$ is an integer, which means that $p^2-4 q$ must be a perfect square.
Therefore, $p^2-4 q$ is a positive perfect square.
Suppose also that the equation $g(x)=0$ has two distinct integer roots.
The roots of the equation $3 x^2-2 p x+q=0$ are
$$
x=\frac{2 p \pm \sqrt{(2 p)^2-4(3)(q)}}{2(3)}=\frac{2 p \pm \sqrt{4 p^2-12 q}}{6}=\frac{p \pm \sqrt{p^2-3 q}}{3}
$$
As above, for these roots to be distinct, we need $p^2-3 q$ to be positive and a perfect square. Furthermore, since the roots of the equation $3 x^2-2 p x+q=0$ are distinct integers, then the roots of the equation $x^2-\frac{2 p}{3} x+\frac{q}{3}=0$ are also distinct integers.

数学竞赛代写|滑铁卢数学竞赛代写Waterloo Math Contest代考|2020 Canadian Senior Mathematics Contest Solutions

(c) The goal of this solution is to show that there are infinitely many pairs of positive integers $(p, q)$ with certain properties. To do this, we do not have to find all pairs $(p, q)$ with these properties, as long as we still find infinitely many such pairs. This means that we can make some assumptions as we go. Rather than making all of these assumptions at the very beginning, we will add these as we go.

To begin, we assume that $p$ and $q$ are positive integers with $p$ a multiple of 3 and $q$ a multiple of 9 . (Assumption #1)
Thus, we write $p=3 a$ and $q=9 b$ for some positive integers $a$ and $b$.
Suppose that $a$ and $b$ have the additional property that $a^2-3 b=m^2$ and $a^2-4 b=n^2$ for some positive integers $m$ and $n$. (Assumption #2)
These first two Assumptions are not surprising given the results of (b).
In this case, the non-zero solutions of $f(x)=0$ are
$$
x=\frac{p \pm \sqrt{p^2-4 q}}{2}=\frac{3 a \pm \sqrt{(3 a)^2-4(9 b)}}{2}=\frac{3 a \pm 3 \sqrt{a^2-4 b}}{2}=\frac{3 a \pm 3 n}{2}
$$
and the solutions of $g(x)=0$ are
$$
x=\frac{2 p \pm \sqrt{4 p^2-12 q}}{6}=\frac{p \pm \sqrt{p^2-3 q}}{3}=\frac{3 a \pm 3 \sqrt{a^2-3 b}}{3}=a \pm m
$$
These solutions are all integers as long as the integers $3 a \pm 3 n$ are both even, which is equivalent to saying that $a$ and $n$ are both even or both odd (that is, have the same parity). Since $a^2-4 b=n^2$, this means that $a^2+n^2=4 b$, which is even, which means that $a^2$ and $n^2$ have the same parity, which means that $a$ and $n$ have the same parity.
Further, we note that since $p=3 a$ and $q=9 b$ then both $p$ and $q$ are divisible by 3 and so $\operatorname{gcd}(p, q)=3$ exactly when $a$ and $3 b$ have no further common divisors larger than 1 .
Therefore, to find an infinite number of pairs of positive integers $(p, q)$ which satisfy the given conditions, we can find an infinite number of pairs of positive integers $(a, b)$ for which $a^2-3 b$ and $a^2-4 b$ are both positive perfect squares, and where $\operatorname{gcd}(a, 3 b)=1$.

数学竞赛代写|滑铁卢数学竞赛代写Waterloo Math Contest代考|2021 Canadian Senior Mathematics Contest Solutions

滑铁卢数学竞赛代考

数学竞赛代写|滑铁卢数学竞赛代写Waterloo Math Contest代考|2020 Canadian Senior Mathematics Contest Solutions

(a) 当 $p=33$ 和 $q=216$ ,
$$
f(x)=x^3-33 x^2+216 x=x\left(x^2-33 x+216\right)=x(x-9)(x-24)
$$
自从 $9+24=33$ 和 $9 \cdot 24=216$ ,和
$$
g(x)=3 x^2-66 x+216=3\left(x^2-22 x+72\right)=3(x-4)(x-18)
$$
自从 $4+18=22$ 和 $4 \cdot 18=72$.
因此,方程 $f(x)=0$ 具有三个不同的整数根(即 $x=0, x=9$ 和 $x=24$ ) 和方程 $g(x)=0$ 有两个不同 的整数根 (即 $x=4$ 和 $x=18$ ) 。
(b) 首先假设方程 $f(x)=0$ 具有三个不同的整数根。
自从 $f(x)=x^3-p x^2+q x=x\left(x^2-p x+q\right)$, 那么这些根是 $x=0$ 和二次方程的根 $x^2-p x+q=0$ 哪个是
$$
x=\frac{p \pm \sqrt{p^2-4(1) q}}{2(1)}=\frac{p \pm \sqrt{p^2-4 q}}{2}
$$
对于根 $x^2-p x+q=0$ 为了与众不同,我们需要 $p^2-4 q$ 要积极。
对于根 $x^2-p x+q=0$ 要成为整数,我们需要每个p $p \sqrt{p^2-4 q}$ 是一个整数,这意味着 $\sqrt{p^2-4 q}$ 是 一个整数,这意味着 $p^2-4 q$ 一定是一个完美的正方形。
所以, $p^2-4 q$ 是一个正完美正方形。
还假设方程 $g(x)=0$ 有两个不同的整数根。
方程的根 $3 x^2-2 p x+q=0$ 是
$$
x=\frac{2 p \pm \sqrt{(2 p)^2-4(3)(q)}}{2(3)}=\frac{2 p \pm \sqrt{4 p^2-12 q}}{6}=\frac{p \pm \sqrt{p^2-3 q}}{3}
$$
如上所述,为了使这些根不同,我们需要 $p^2-3 q$ 是积极的和完美的正方形。此外,由于方程的根 $3 x^2-2 p x+q=0$ 是不同的整数,那么方程的根 $x^2-\frac{2 p}{3} x+\frac{q}{3}=0$ 也是不同的整数。

数学竞赛代写|滑铁卢数学竞赛代写Waterloo Math Contest代考|2020 Canadian Senior Mathematics Contest Solutions

(c) 这个解的目的是证明有无穷多对正整数 $(p, q)$ 具有一定的属性。为此,我们不必找到所有对 $(p, q)$ 有了 这些性质,只要我们仍然找到无限多这样的对。这意味着我们可以随时做出一些假设。我们不会在一开 始就做出所有这些假设,而是在进行中添加这些假设。
首先,我们假设 $p$ 和 $q$ 是正整数 $p 3$ 的倍数和 $q 9$ 的倍数。(假设# 1)
因此,我们写 $p=3 a$ 和 $q=9 b$ 对于一些正整数 $a$ 和 $b$.
假设 $a$ 和 $b$ 有额外的财产 $a^2-3 b=m^2$ 和 $a^2-4 b=n^2$ 对于一些正整数 $m$ 和 $n$. (假设#2)
鉴于 (b) 的结果,前两个假设并不令人惊讶。
在这种情况下,非零解 $f(x)=0$ 是
$$
x=\frac{p \pm \sqrt{p^2-4 q}}{2}=\frac{3 a \pm \sqrt{(3 a)^2-4(9 b)}}{2}=\frac{3 a \pm 3 \sqrt{a^2-4 b}}{2}=\frac{3 a \pm 3 n}{2}
$$
以及解决方案 $g(x)=0$ 是
$$
x=\frac{2 p \pm \sqrt{4 p^2-12 q}}{6}=\frac{p \pm \sqrt{p^2-3 q}}{3}=\frac{3 a \pm 3 \sqrt{a^2-3 b}}{3}=a \pm m
$$
这些解都是整数,只要整数 $3 a \pm 3 n$ 都是偶数,相当于说 $a$ 和 $n$ 都是偶数或都是奇数(即具有相同的奇偶 性)。自从 $a^2-4 b=n^2 ,$ 这意味着 $a^2+n^2=4 b$, 是偶数,这意味着 $a^2$ 和 $n^2$ 具有相同的奇偶性,这意 味着 $a$ 和 $n$ 具有相同的平价。
此外,我们注意到,由于 $p=3 a$ 和 $q=9 b$ 然后两者 $p$ 和 $q$ 能被 3 整除,所以 $\operatorname{gcd}(p, q)=3$ 究竟是什么时 候 $a$ 和 $3 b$ 没有大于 1 的公约数。
因此,要找到无限多的正整数对 $(p, q)$ 满足给定条件,我们可以找到无限多对正整数 $(a, b)$ 为此 $a^2-3 b$ 和 $a^2-4 b$ 都是正完全平方,并且其中 $\operatorname{gcd}(a, 3 b)=1$.

数学竞赛代写|滑铁卢数学竞赛代写Waterloo Math Contest代考

myassignments-help数学代考价格说明

1、客户需提供物理代考的网址,相关账户,以及课程名称,Textbook等相关资料~客服会根据作业数量和持续时间给您定价~使收费透明,让您清楚的知道您的钱花在什么地方。

2、数学代写一般每篇报价约为600—1000rmb,费用根据持续时间、周作业量、成绩要求有所浮动(持续时间越长约便宜、周作业量越多约贵、成绩要求越高越贵),报价后价格觉得合适,可以先付一周的款,我们帮你试做,满意后再继续,遇到Fail全额退款。

3、myassignments-help公司所有MATH作业代写服务支持付半款,全款,周付款,周付款一方面方便大家查阅自己的分数,一方面也方便大家资金周转,注意:每周固定周一时先预付下周的定金,不付定金不予继续做。物理代写一次性付清打9.5折。

Math作业代写、数学代写常见问题

留学生代写覆盖学科?

代写学科覆盖Math数学,经济代写,金融,计算机,生物信息,统计Statistics,Financial Engineering,Mathematical Finance,Quantitative Finance,Management Information Systems,Business Analytics,Data Science等。代写编程语言包括Python代写、Physics作业代写、物理代写、R语言代写、R代写、Matlab代写、C++代做、Java代做等。

数学作业代写会暴露客户的私密信息吗?

我们myassignments-help为了客户的信息泄露,采用的软件都是专业的防追踪的软件,保证安全隐私,绝对保密。您在我们平台订购的任何网课服务以及相关收费标准,都是公开透明,不存在任何针对性收费及差异化服务,我们随时欢迎选购的留学生朋友监督我们的服务,提出Math作业代写、数学代写修改建议。我们保障每一位客户的隐私安全。

留学生代写提供什么服务?

我们提供英语国家如美国、加拿大、英国、澳洲、新西兰、新加坡等华人留学生论文作业代写、物理代写、essay润色精修、课业辅导及网课代修代写、Quiz,Exam协助、期刊论文发表等学术服务,myassignments-help拥有的专业Math作业代写写手皆是精英学识修为精湛;实战经验丰富的学哥学姐!为你解决一切学术烦恼!

物理代考靠谱吗?

靠谱的数学代考听起来简单,但实际上不好甄别。我们能做到的靠谱,是把客户的网课当成自己的网课;把客户的作业当成自己的作业;并将这样的理念传达到全职写手和freelancer的日常培养中,坚决辞退糊弄、不守时、抄袭的写手!这就是我们要做的靠谱!

数学代考下单流程

提早与客服交流,处理你心中的顾虑。操作下单,上传你的数学代考/论文代写要求。专家结束论文,准时交给,在此过程中可与专家随时交流。后续互动批改

付款操作:我们数学代考服务正常多种支付方法,包含paypal,visa,mastercard,支付宝,union pay。下单后与专家直接互动。

售后服务:论文结束后保证完美经过turnitin查看,在线客服全天候在线为您服务。如果你觉得有需求批改的当地能够免费批改,直至您对论文满意为止。如果上交给教师后有需求批改的当地,只需求告诉您的批改要求或教师的comments,专家会据此批改。

保密服务:不需求提供真实的数学代考名字和电话号码,请提供其他牢靠的联系方法。我们有自己的工作准则,不会泄露您的个人信息。

myassignments-help擅长领域包含但不是全部:

myassignments-help服务请添加我们官网的客服或者微信/QQ,我们的服务覆盖:Assignment代写、Business商科代写、CS代考、Economics经济学代写、Essay代写、Finance金融代写、Math数学代写、report代写、R语言代考、Statistics统计学代写、物理代考、作业代写、加拿大代考、加拿大统计代写、北美代写、北美作业代写、北美统计代考、商科Essay代写、商科代考、数学代考、数学代写、数学作业代写、physics作业代写、物理代写、数据分析代写、新西兰代写、澳洲Essay代写、澳洲代写、澳洲作业代写、澳洲统计代写、澳洲金融代写、留学生课业指导、经济代写、统计代写、统计作业代写、美国Essay代写、美国代考、美国数学代写、美国统计代写、英国Essay代写、英国代考、英国作业代写、英国数学代写、英国统计代写、英国金融代写、论文代写、金融代考、金融作业代写。