数学和计算机竞赛对来自世界各地具有不同能力的学生提出挑战，以增长宝贵的解决问题的技能。参加竞赛不是入学的要求，但我们强烈鼓励你参加，因为它是你申请的财富，可以帮助学院做出奖学金决定。我们鼓励你去看看欧几里德数学竞赛和/或加拿大高级数学竞赛（CSMC）。
我们建议计算机科学专业的申请人参加加拿大计算机竞赛（CCC），尽管这不是入学要求。该竞赛的目的是为学生提供一个机会，测试他们在设计和理解算法以及编程方面的能力。竞赛的获胜者将被邀请参加滑铁卢的计算机科学强化讲习班，你可以在你的入学信息表上注明你参加了竞赛。
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(a) When $p=33$ and $q=216$,
$$
f(x)=x^3-33 x^2+216 x=x\left(x^2-33 x+216\right)=x(x-9)(x-24)
$$
since $9+24=33$ and $9 \cdot 24=216$, and
$$
g(x)=3 x^2-66 x+216=3\left(x^2-22 x+72\right)=3(x-4)(x-18)
$$
since $4+18=22$ and $4 \cdot 18=72$.
Therefore, the equation $f(x)=0$ has three distinct integer roots (namely $x=0, x=9$ and $x=24$ ) and the equation $g(x)=0$ has two distinct integer roots (namely $x=4$ and $x=18$ ).
(b) Suppose first that the equation $f(x)=0$ has three distinct integer roots.
Since $f(x)=x^3-p x^2+q x=x\left(x^2-p x+q\right)$, then these roots are $x=0$ and the roots of the quadratic equation $x^2-p x+q=0$ which are
$$
x=\frac{p \pm \sqrt{p^2-4(1) q}}{2(1)}=\frac{p \pm \sqrt{p^2-4 q}}{2}
$$
For the roots of $x^2-p x+q=0$ to be distinct, we need $p^2-4 q$ to be positive.
For the roots of $x^2-p x+q=0$ to be integers, we need each of $p \pm \sqrt{p^2-4 q}$ to be an integer, which means that $\sqrt{p^2-4 q}$ is an integer, which means that $p^2-4 q$ must be a perfect square.
Therefore, $p^2-4 q$ is a positive perfect square.
Suppose also that the equation $g(x)=0$ has two distinct integer roots.
The roots of the equation $3 x^2-2 p x+q=0$ are
$$
x=\frac{2 p \pm \sqrt{(2 p)^2-4(3)(q)}}{2(3)}=\frac{2 p \pm \sqrt{4 p^2-12 q}}{6}=\frac{p \pm \sqrt{p^2-3 q}}{3}
$$
As above, for these roots to be distinct, we need $p^2-3 q$ to be positive and a perfect square. Furthermore, since the roots of the equation $3 x^2-2 p x+q=0$ are distinct integers, then the roots of the equation $x^2-\frac{2 p}{3} x+\frac{q}{3}=0$ are also distinct integers.
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(c) The goal of this solution is to show that there are infinitely many pairs of positive integers $(p, q)$ with certain properties. To do this, we do not have to find all pairs $(p, q)$ with these properties, as long as we still find infinitely many such pairs. This means that we can make some assumptions as we go. Rather than making all of these assumptions at the very beginning, we will add these as we go.
To begin, we assume that $p$ and $q$ are positive integers with $p$ a multiple of 3 and $q$ a multiple of 9 . (Assumption #1)
Thus, we write $p=3 a$ and $q=9 b$ for some positive integers $a$ and $b$.
Suppose that $a$ and $b$ have the additional property that $a^2-3 b=m^2$ and $a^2-4 b=n^2$ for some positive integers $m$ and $n$. (Assumption #2)
These first two Assumptions are not surprising given the results of (b).
In this case, the non-zero solutions of $f(x)=0$ are
$$
x=\frac{p \pm \sqrt{p^2-4 q}}{2}=\frac{3 a \pm \sqrt{(3 a)^2-4(9 b)}}{2}=\frac{3 a \pm 3 \sqrt{a^2-4 b}}{2}=\frac{3 a \pm 3 n}{2}
$$
and the solutions of $g(x)=0$ are
$$
x=\frac{2 p \pm \sqrt{4 p^2-12 q}}{6}=\frac{p \pm \sqrt{p^2-3 q}}{3}=\frac{3 a \pm 3 \sqrt{a^2-3 b}}{3}=a \pm m
$$
These solutions are all integers as long as the integers $3 a \pm 3 n$ are both even, which is equivalent to saying that $a$ and $n$ are both even or both odd (that is, have the same parity). Since $a^2-4 b=n^2$, this means that $a^2+n^2=4 b$, which is even, which means that $a^2$ and $n^2$ have the same parity, which means that $a$ and $n$ have the same parity.
Further, we note that since $p=3 a$ and $q=9 b$ then both $p$ and $q$ are divisible by 3 and so $\operatorname{gcd}(p, q)=3$ exactly when $a$ and $3 b$ have no further common divisors larger than 1 .
Therefore, to find an infinite number of pairs of positive integers $(p, q)$ which satisfy the given conditions, we can find an infinite number of pairs of positive integers $(a, b)$ for which $a^2-3 b$ and $a^2-4 b$ are both positive perfect squares, and where $\operatorname{gcd}(a, 3 b)=1$.
滑铁卢数学竞赛代考
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(a) 当 $p=33$ 和 $q=216$ ，
$$
f(x)=x^3-33 x^2+216 x=x\left(x^2-33 x+216\right)=x(x-9)(x-24)
$$
自从 $9+24=33$ 和 $9 \cdot 24=216$ ，和
$$
g(x)=3 x^2-66 x+216=3\left(x^2-22 x+72\right)=3(x-4)(x-18)
$$
自从 $4+18=22$ 和 $4 \cdot 18=72$.
因此，方程 $f(x)=0$ 具有三个不同的整数根（即 $x=0, x=9$ 和 $x=24$ ) 和方程 $g(x)=0$ 有两个不同 的整数根 (即 $x=4$ 和 $x=18$ ) 。
(b) 首先假设方程 $f(x)=0$ 具有三个不同的整数根。
自从 $f(x)=x^3-p x^2+q x=x\left(x^2-p x+q\right)$, 那么这些根是 $x=0$ 和二次方程的根 $x^2-p x+q=0$ 哪个是
$$
x=\frac{p \pm \sqrt{p^2-4(1) q}}{2(1)}=\frac{p \pm \sqrt{p^2-4 q}}{2}
$$
对于根 $x^2-p x+q=0$ 为了与众不同，我们需要 $p^2-4 q$ 要积极。
对于根 $x^2-p x+q=0$ 要成为整数，我们需要每个p $p \sqrt{p^2-4 q}$ 是一个整数，这意味着 $\sqrt{p^2-4 q}$ 是 一个整数，这意味着 $p^2-4 q$ 一定是一个完美的正方形。
所以, $p^2-4 q$ 是一个正完美正方形。
还假设方程 $g(x)=0$ 有两个不同的整数根。
方程的根 $3 x^2-2 p x+q=0$ 是
$$
x=\frac{2 p \pm \sqrt{(2 p)^2-4(3)(q)}}{2(3)}=\frac{2 p \pm \sqrt{4 p^2-12 q}}{6}=\frac{p \pm \sqrt{p^2-3 q}}{3}
$$
如上所述，为了使这些根不同，我们需要 $p^2-3 q$ 是积极的和完美的正方形。此外，由于方程的根 $3 x^2-2 p x+q=0$ 是不同的整数，那么方程的根 $x^2-\frac{2 p}{3} x+\frac{q}{3}=0$ 也是不同的整数。
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(c) 这个解的目的是证明有无穷多对正整数 $(p, q)$ 具有一定的属性。为此，我们不必找到所有对 $(p, q)$ 有了 这些性质，只要我们仍然找到无限多这样的对。这意味着我们可以随时做出一些假设。我们不会在一开 始就做出所有这些假设，而是在进行中添加这些假设。
首先，我们假设 $p$ 和 $q$ 是正整数 $p 3$ 的倍数和 $q 9$ 的倍数。（假设# 1)
因此，我们写 $p=3 a$ 和 $q=9 b$ 对于一些正整数 $a$ 和 $b$.
假设 $a$ 和 $b$ 有额外的财产 $a^2-3 b=m^2$ 和 $a^2-4 b=n^2$ 对于一些正整数 $m$ 和 $n$. (假设#2)
鉴于 (b) 的结果，前两个假设并不令人惊讶。
在这种情况下，非零解 $f(x)=0$ 是
$$
x=\frac{p \pm \sqrt{p^2-4 q}}{2}=\frac{3 a \pm \sqrt{(3 a)^2-4(9 b)}}{2}=\frac{3 a \pm 3 \sqrt{a^2-4 b}}{2}=\frac{3 a \pm 3 n}{2}
$$
以及解决方案 $g(x)=0$ 是
$$
x=\frac{2 p \pm \sqrt{4 p^2-12 q}}{6}=\frac{p \pm \sqrt{p^2-3 q}}{3}=\frac{3 a \pm 3 \sqrt{a^2-3 b}}{3}=a \pm m
$$
这些解都是整数，只要整数 $3 a \pm 3 n$ 都是偶数，相当于说 $a$ 和 $n$ 都是偶数或都是奇数（即具有相同的奇偶 性)。自从 $a^2-4 b=n^2 ，$ 这意味着 $a^2+n^2=4 b$, 是偶数，这意味着 $a^2$ 和 $n^2$ 具有相同的奇偶性，这意 味着 $a$ 和 $n$ 具有相同的平价。
此外，我们注意到，由于 $p=3 a$ 和 $q=9 b$ 然后两者 $p$ 和 $q$ 能被 3 整除，所以 $\operatorname{gcd}(p, q)=3$ 究竟是什么时 候 $a$ 和 $3 b$ 没有大于 1 的公约数。
因此，要找到无限多的正整数对 $(p, q)$ 满足给定条件，我们可以找到无限多对正整数 $(a, b)$ 为此 $a^2-3 b$ 和 $a^2-4 b$ 都是正完全平方，并且其中 $\operatorname{gcd}(a, 3 b)=1$.
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