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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Lemma
Suppose that $v \in V$ and the cluster point $u^$ form a minimum sequence. If $u^ \in T$, then it is the best approximation of $v$ out of $T$.
Proof: Suppose that $\left(u_i\right)$ is a minimum sequence that
$$
\lim {i \rightarrow \infty}\left|v-u_i\right|=E_T(v) $$ Also assume that subsequence $\left(u{j(i)}\right)$ converges to $u^* \in T$. In this case, given that
$$
\lim {i \rightarrow \infty}\left|v-u_i\right|=E_T(v), \quad \lim {j \rightarrow \infty}\left|u_i-u^{+}\right|=0
$$
we can say that for every $j$, we have:
$$
\left|u-u^2\right| \leq\left|v-u_i\right|+\left|u_j-u^2\right|, \quad\left|v-u^{+}\right| \leq E_T(v)
$$
For every $u \in T$, we have
$$
E_T(v) \leq|v-u|
$$
So, it can be concluded that
$$
\left|v-u^2\right|=E_T(v)
$$
and $u^*$ is the best approximation.
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Types of Splines
In this section, the types of splines in vector space $S_l\left(\Omega_n\right)$ for $l=2 m-1$ and $m \geq 2$ are discussed.
It is obvious that
$$
\operatorname{dim}\left(S_l\left(\Omega_n\right)\right)=n+2 m-1
$$
Given that
$$
\forall S\left(S \in S_l\left(\Omega_n\right) \Rightarrow S\left(x_i\right)=f_i, \quad i=0, \ldots, n\right)
$$
To obtain this number of equations, we have the following conditions:
- Suppose that $f \in c^m[a, b]$ and $2 \leq m \leq n+1$ and
$$
S^{(\mu)}(a)=S^{(\mu)}(b)=0, \quad \mu=m, \ldots, 2 m-2
$$
In this case, a natural spline is obtained. - Assuming $f \in c^m[a, b]$ and $2 \leq m \leq n+1$ and
$$
S^{(\mu)}(a)=f^{(\mu)}(a), \quad S^{(\mu)}(b)=f^{(\mu)}(b), \quad \mu=1, \ldots, m-1
$$
we have a bounded (Hermite) spline. - Assuming $f \in c^m[a, b]$ and
$$
\begin{aligned}
&f^{(k)}(a)=f^{(k)}(b), \quad k=0,1, \ldots, m-1 \
&S^{(\mu)}(a)=S^{(\mu)}(b), \quad \mu=1, \ldots, 2 m-2
\end{aligned}
$$
we have periodic splines.
数值分析代考
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Rational Function Interpolation
样条曲线广泛用于工程和数学中。它们是近似理论中最重要的工具之一，并且经常用于求解偏微分方程的 有限元方法。它们在计算机图形学中很重要。它们的实用性远远超出了从离散数据中绘制平滑图的作用。 然而，我们现在转向其他技术。
当我们试图改进多项式揷值的弱点时，我们开始使用样条曲线。我们注意到，我们必须要么放弃“多项式”， 要么放弃“揷值”以获得更好的近似值。放弃揷值的技术可用于获得良好的近似值。样条曲线放弃了多项式， 取而代之的是分段多项式。另一种方法是转向有理函数，它被定义为多项式的比率函数
$$
\frac{P_n(x)}{Q_d(x)}=\frac{p_n x^n+p_{n-1} x^{n-1}+\ldots+p_1 x+p_0}{q_d x^d+q_{d-1} x^{d-1}+\ldots+q_1 x+q_0}
$$
在哪里 $Q_d(x)$ 不是雱多项式。因此，这两个多项式没有共同的根。请注意，每个多项式都是有理函数，因 为我们可以取 $Q_d(x)=1$
有理函数的度定义为 $n+d$ 它的度数类型是pair $(n, d)$. 将有理函数揷值到一组数据称为有理函数揷值。通常 $n$ 和 $d$ 相等或几乎相等，并且由用户预先选择。如果 $n \leq d$ 我们说有理函数是适当的。
有理函数揷值的一个优点是函数 $R(x)=P_n(x) / Q_d(x)$ 可能有一个极点，也就是一个点 $x_0$ 在哪里 $Q_d\left(x_0\right)=0$ ，导致函数在该点出现奇点 (可能被对应的雺点取消) $P_n(x)$ )。这使我们能够对更广泛的 函数类别进行建模。此外，如果我们试图逼近一个实函数 $f(x)$ 通过多项式揷值，极点 $f(x)$ 偏离实线 (在复 平面上) 可能导致对实线的逼近很差，就像幂级数一样；有理函数避免了这些问题，并且可以在这种情况 下给出很好的近似值。事实上，有理函数揷值和逼近通常用于筫分析的理论工作。
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|The Best Approximation Problem
让我们从更一般的意义上讨论近似问题，而不仅仅是揷值。逼近函数的最佳方法是什么 通过更简单的功能 $g$ ? 没有一个答案。首先我们必须明确我们所说的”简单”函数是什么意思一一比如说， $P_2$ ，最多为二的所有 多项式的集合。但即便如此，我们也必须解决这个问题: “最佳”在什么意义上? 最佳可能意味着最容易操 作、最容易计算、最接近函数，或者这些目标之间的某种折袁，具体取决于应用程序。
甚至像问近似值这样看似简单的事情 $g$ 给出最接近的近似值 $f$ 简单函数集中的所有函数 $g$ 绘制并没有明确定义 最佳。最接近是指最小化 $L_{\infty}$ 差异规范 $f-g$
$$
\max |f(x)-g(x)|
$$
在感兴趣的区间内 $[a, b]$ ，或最小化 $L_1$ 差异规范
$$
\int_a^b|f(x)-g(x)| d x
$$
或最小化 $L_2$ 差异规范
$$
\left(\int_a^b(f(x)-g(x))^2 d x\right)^{1 / 2}
$$
或者别的什么? (函数空间上的这些 Hölder 范数与相应的向量范数类似地定义。）在科学计算的许多领域 中，用户会询问我们做某事的最佳方式，并且可能会花费大量时间来了解用户的真实情况最好的意思。例如，考虑函数 $f_1(x)=x^{-3}$ 和 $f_2(x)=0$ 上 $[.1,1]$. 相对于该 $L_{\infty}$ 方程的范数。(6.1)，函数相距甚远，因为
$$
\max \left|f_1(x)-f_2(x)\right|=1000
$$
超过 $[.1,1]$; 但关于 $L_1$ 方程的范数。(6.2)，它们更接近，
$$
\int_a^b\left|f_1(x)-f_2(x)\right| d x \doteq 49.5
$$
(曲线之间的面积只有大约 50 个单位) 。如果我们希望使用 $f_2$ 近似值 $f_1$ 那么我们必须预料到错误的顺序 $10^3$ ，但如果我们希望使用 $f_2$ 近似积分 $f_1$ 那么我们应该预计会出现大约 $\$ 10^{\wedge} 1$ 的错误。
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