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计算机代写|机器学习代写machine learning代考|An Application of Norms

The problem of solving an inconsistent linear system $A x=b$ often arises in practice. This is a system where $b$ does not belong to the column space of $A$, usually with more equations than variables. Thus, such a system has no solution. Yet we would still like to “solve” such a system, at least approximately.

Such systems often arise when trying to fit some data. For example, we may have a set of $3 \mathrm{D}$ data points
$$
\left{p_1, \ldots, p_n\right},
$$
and we have reason to believe that these points are nearly coplanar. We would like to find a plane that best fits our data points. Recall that the equation of a plane is
$$
\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0,
$$
with $(\alpha, \beta, \gamma) \neq(0,0,0)$. Thus, every plane is either not parallel to the $x$-axis $(\alpha \neq 0)$ or not parallel to the $y$-axis $(\beta \neq 0)$ or not parallel to the $z$-axis $(\gamma \neq 0)$.

Say we have reasons to believe that the plane we are looking for is not parallel to the $z$-axis. If we are wrong, in the least squares solution, one of the coefficients, $\alpha, \beta$, will be very large. If $\gamma \neq 0$, then we may assume that our plane is given by an equation of the form
$$
z=a x+b y+d,
$$
and we would like this equation to be satisfied for all the $p_i$ ‘s, which leads to a system of $n$ equations in 3 unknowns $a, b, d$, with $p_i=\left(x_i, y_i, z_i\right)$;
$$
\begin{gathered}
a x_1+b y_1+d=z_1 \
\vdots \vdots \vdots \
a x_n+b y_n+d=z_n .
\end{gathered}
$$
However, if $n$ is larger than 3 , such a system generally has no solution. Since the above system can’t be solved exactly, we can try to find a solution $(a, b, d)$ that minimizes the least-squares error
$$
\sum_{i=1}^n\left(a x_i+b y_i+d-z_i\right)^2 .
$$

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Limits of Sequences and Series

If $x \in \mathbb{R}$ or $x \in \mathbb{C}$ and if $|x|<1$, it is well known that the sums $\sum_{k=0}^n x^k=1+x+x^2+\cdots+x^n$ converge to the limit $1 /(1-x)$ when $n$ goes to infinity, and we write
$$
\sum_{k=0}^{\infty} x^k=\frac{1}{1-x} \text {. }
$$

For example,
$$
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k}=2
$$
Similarly, the sums
$$
S_n=\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k !}
$$
converge to $e^x$ when $n$ goes to infinity, for every $x$ (in $\mathbb{R}$ or $\mathbb{C}$ ). What if we replace $x$ by a real or complex $n \times n$ matrix $A$ ?

The partial sums $\sum_{k=0}^n A^k$ and $\sum_{k=0}^n \frac{A^k}{k !}$ still make sense, but we have to define what is the limit of a sequence of matrices. This can be done in any normed vector space.

Definition 9.12. Let $(E,||)$ be a normed vector space. A sequence $\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ in $E$ is any function $u: \mathbb{N} \rightarrow E$. For any $v \in E$, the sequence $\left(u_n\right)$ converges to $v$ (and $v$ is the limit of the sequence $\left.\left(u_n\right)\right)$ if for every $\epsilon>0$, there is some integer $N>0$ such that
$$
\left|u_n-v\right|<\epsilon \quad \text { for all } n \geq N . $$ Often we assume that a sequence is indexed by $\mathbb{N}-{0}$, that is, its first term is $u_1$ rather than $u_0$. If the sequence $\left(u_n\right)$ converges to $v$, then since by the triangle inequality $$ \left|u_m-u_n\right| \leq\left|u_m-v\right|+\left|v-u_n\right|, $$ we see that for every $\epsilon>0$, we can find $N>0$ such that $\left|u_m-v\right|<\epsilon / 2$ and $\left|u_n-v\right|<\epsilon / 2$ for all $m, n \geq N$, and so
$$
\left|u_m-u_n\right|<\epsilon \quad \text { for all } m, n \geq N \text {. }
$$

机器学习代考

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|An Application of Norms

求解不一致线性系统的问题 $A x=b$ 实践中经常出现。这是一个系统，其中 $b$ 不属于的列空间 $A$ ，通営方 程多于变量。因此，这样的系统没有解决方案。然而，我们仍然苃望至少近似地”解决”这样一个系统。
当试图拟合一些数据时，经常会出现这样的系统。例如，我们可能有一组 $3 \mathrm{D}$ 数据点
Veft $\left{p_{-} 1\right.$, \dots, p_nไright $}$,
我们有理由相信这些点几乎是共面的。我们想找到最适合我们数据点的平面。回想一下，平面方程是
$$
\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0,
$$
和 $(\alpha, \beta, \gamma) \neq(0,0,0)$. 因此，每个平面要么不平行于 $x$-轴 $(\alpha \neq 0)$ 或不平行于 $y$-轴 $(\beta \neq 0)$ 或不平行于 $z$-轴 $(\gamma \neq 0)$.
假设我们有理由相信我们正在寻找的平面不平行于 $z$-轴。如果我们错了，在最小二乘解中，系数之一， $\alpha, \beta$, 会很大。如果 $\gamma \neq 0$ ，那么我们可以假设我们的平面由以下形式的方程给出
$$
z=a x+b y+d,
$$
我们希望这个等式满足所有 $p_i$ 的，这导致了一个系统 $n 3$ 个末知数的方程 $a, b, d ，$ 和 $p_i=\left(x_i, y_i, z_i\right)$;
$$
a x_1+b y_1+d=z_1::: a x_n+b y_n+d=z_n .
$$
然而，如果 $n$ 大于 3 ，这样的系统一般没有解。由于上述系统无法完全解决，我们可以尝试寻找解决方 案 $(a, b, d)$ 最小二乘误差
$$
\sum_{i=1}^n\left(a x_i+b y_i+d-z_i\right)^2 .
$$

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Limits of Sequences and Series

如果 $x \in \mathbb{R}$ 或者 $x \in \mathbb{C}$ 而如果 $|x|<1$ ，众所周知，总和 $\sum_{k=0}^n x^k=1+x+x^2+\cdots+x^n$ 收敛到极 限 $1 /(1-x)$ 什么时候 $n$ 走向无穷大，我们写 $$ \sum_{k=0}^{\infty} x^k=\frac{1}{1-x} . $$ 例如， $$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k}=2 $$ 同样，总和 $$ S_n=\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k !} $$ 收敛到 $e^x$ 什么时候 $n$ 走向无穷大，对于每一个 $x$ (在 $\mathbb{R}$ 或者 $\mathbb{C}$ ) 。如果我们更换 $x$ 由一个真实的或复杂的 $n \times n$ 矩阵 $A$ ? 部分金额 $\sum_{k=0}^n A^k$ 和 $\sum_{k=0}^n \frac{A^k}{k !}$ 仍然有意义，但我们必须定义矩阵序列的极限是什么。这可以在任何规 范向量空间中完成。 定义 9.12。让 $(E, |)$ 是一个范数向量空间。一个序列 $\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ 在 $E$ 是任何函数 $u: \mathbb{N} \rightarrow E$. 对于任何 $v \in E$ ，序列 $\left(u_n\right)$ 收敛到 $v$ (和 $v$ 是序列的极限 $\left(u_n\right)$ )如果对于每个 $\epsilon>0$ ，有一个整数 $N>0$ 这样
$$
\left|u_n-v\right|<\epsilon \quad \text { for all } n \geq N . $$ 通常我们假设一个序列被索引 $\mathbb{N}-0$ ，即它的第一项是 $u_1$ 而不是 $u_0$. 如果序列 $\left(u_n\right)$ 收敛到 $v$ ，那么由于由 三角不等式 $$ \left|u_m-u_n\right| \leq\left|u_m-v\right|+\left|v-u_n\right| \text {, } $$ 我们看到，对于每个 $\epsilon>0$ ， 我们可以找 $N>0$ 这样 $\left|u_m-v\right|<\epsilon / 2$ 和 $\left|u_n-v\right|<\epsilon / 2$ 对所有人 $m, n \geq N$ ，所以
$$
\left|u_m-u_n\right|<\epsilon \quad \text { for all } m, n \geq N \text {. }
$$

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