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计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Subordinate Norms

We now give another method for obtaining matrix norms using subordinate norms. First we need a proposition that shows that in a finite-dimensional space, the linear map induced by a matrix is bounded, and thus continuous.

Proposition 9.8. For every norm || on $\mathbb{C}^n$ (or $\mathbb{R}^n$ ), for every matrix $A \in \mathrm{M}n(\mathbb{C}$ ) (or $A \in \mathrm{M}_n(\mathbb{R})$ ), there is a real constant $C_A \geq 0$, such that $$ |A u| \leq C_A|u|, $$ for every vector $u \in \mathbb{C}^n$ (or $u \in \mathbb{R}^n$ if $A$ is real). Proof. For every basis $\left(e_1, \ldots, e_n\right)$ of $\mathbb{C}^n$ (or $\left.\mathbb{R}^n\right)$, for every vector $u=u_1 e_1+\cdots+u_n e_n$, we have $$ \begin{aligned} |A u| &=\left|u_1 A\left(e_1\right)+\cdots+u_n A\left(e_n\right)\right| \ & \leq\left|u_1\right|\left|A\left(e_1\right)\right|+\cdots+\left|u_n\right|\left|A\left(e_n\right)\right| \ & \leq C_1\left(\left|u_1\right|+\cdots+\left|u_n\right|\right)=C_1|u|_1, \end{aligned} $$ where $C_1=\max {1 \leq i \leq n}\left|A\left(e_i\right)\right|$. By Theorem 9.5, the norms || and ||$_1$ are equivalent, so there is some constant $C_2>0$ so that $|u|_1 \leq C_2|u|$ for all $u$, which implies that
$$
|A u| \leq C_A|u|,
$$
where $C_A=C_1 C_2$.
Proposition $9.8$ says that every linear map on a finite-dimensional space is bounded. This implies that every linear map on a finite-dimensional space is continuous. Actually, it is not hard to show that a linear map on a normed vector space $E$ is bounded iff it is continuous, regardless of the dimension of $E$.
Proposition $9.8$ implies that for every matrix $A \in \mathrm{M}n(\mathbb{C})$ (or $A \in \mathrm{M}_n(\mathbb{R})$ ), $$ \sup {\substack{x \in \mathbb{C}^n \ x \neq 0}} \frac{|A x|}{|x|} \leq C_A .
$$

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Inequalities Involving Subordinate Norms

In this section we discuss two technical inequalities which will be needed for certain proofs in the last three sections of this chapter. First we prove a proposition which will be needed when we deal with the condition number of a matrix.
Proposition 9.11. Let || be any matrix norm, and let $B \in \mathrm{M}_n(\mathbb{C})$ such that $|B|<1$. (1) If || is a subordinate matrix norm, then the matrix $I+B$ is invertible and $$ \left|(I+B)^{-1}\right| \leq \frac{1}{1-|B|} . $$ (2) If a matrix of the form $I+B$ is singular, then $|B|>1$ for every matrix norm (not necessarily subordinate).
Proof. (1) Observe that $(I+B) u=0$ implies $B u=-u$, so
$$
|u|=|B u| \text {. }
$$
Recall that
$$
|B u| \leq|B||u|
$$
for every subordinate norm. Since $|B|<1$, if $u \neq 0$, then
$$
|B u|<|u| \text {, }
$$
which contradicts $|u|=|B u|$. Therefore, we must have $u=0$, which proves that $I+B$ is injective, and thus bijective, i.e., invertible. Then we have
$$
(I+B)^{-1}+B(I+B)^{-1}=(I+B)(I+B)^{-1}=I,
$$

so we get
$$
(I+B)^{-1}=I-B(I+B)^{-1}
$$
which yields
and finally,
$$
\left|(I+B)^{-1}\right| \leq 1+|B|\left|(I+B)^{-1}\right|
$$
$$
\left|(I+B)^{-1}\right| \leq \frac{1}{1-|B|} .
$$

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计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Subordinate Norms

我们现在给出另一种使用从属范数获得矩阵范数的方法。首先，我们需要一个命题，表明在有限维空间 中，由矩阵导出的线性映射是有界的，因此是连续的。
提案 9.8。对于每一个规范 $|$ 上 $\mathbb{C}^n\left(\right.$ 或者 $\left.\mathbb{R}^n\right)$ ，对于每个矩阵 $A \in \mathrm{M} n(\mathbb{C}) \quad\left(\right.$ 或者 $A \in \mathrm{M}n(\mathbb{R})$ ，有一 个实常数 $C_A \geq 0$, 这样 $$ |A u| \leq C_A|u|, $$ 对于每个向量 $u \in \mathbb{C}^n$ (或者 $u \in \mathbb{R}^n$ 如果 $A$ 是真实的)。证明。对于每一个基础 $\left(e_1, \ldots, e_n\right)$ 的 $\mathbb{C}^n$ (或 者 $\left.\mathbb{R}^n\right)$, 对于每个向量 $u=u_1 e_1+\cdots+u_n e_n$ ，我们有 $$ |A u|=\left|u_1 A\left(e_1\right)+\cdots+u_n A\left(e_n\right)\right| \quad \leq\left|u_1\right|\left|A\left(e_1\right)\right|+\cdots+\left|u_n\right|\left|A\left(e_n\right)\right| \leq C_1\left(\left|u_1\right|+\cdots+\left|u_n\right|\right) $$ 在哪里 $C_1=\max 1 \leq i \leq n\left|A\left(e_i\right)\right|$. 根据定理 9.5，规范 $|$ 和 $|_1$ 是等价的，所以有一些常数 $C_2>0$ 以便 $|u|_1 \leq C_2|u|$ 对所有人 $u$ ，这意味着 $$ |A u| \leq C_A|u|, $$ 在哪里 $C_A=C_1 C_2$. 主张 $9.8$ 表示有限维空间上的每个线性映射都是有界的。这意味着有限维空间上的每个线性映射都是连续 的。实际上，不难证明在一个范数向量空间上的线性映射 $E$ 是有界的，当且仅当它是连续的，而与 $E$. 主张9.8意味着对于每个矩阵 $A \in \mathrm{M} n(\mathbb{C})$ (或者 $A \in \mathrm{M}_n(\mathbb{R})$ )， $$ \sup {x \in \mathrm{C}^n} x \neq 0 \frac{|A x|}{|x|} \leq C_A .
$$

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Inequalities Involving Subordinate Norms

在本节中，我们将讨论本章最后三节中某些证明所需的两个技术不等式。首先，我们证明一个在处理矩 阵的条件数时需要的命题。
提案 9.11。让 || 是任何矩阵范数，并让 $B \in \mathrm{M}_n(\mathbb{C})$ 这样 $|B|<1$. (1) 如果 $|$ 是从属矩阵范数，则矩阵 $I+B$ 是可逆的并且 $$ \left|(I+B)^{-1}\right| \leq \frac{1}{1-|B|} . $$ (2) 如果一个矩阵的形式 $I+B$ 是单数，那么 $|B|>1$ 对于每个矩阵范数 (不一定是从属的)。 证明。(1) 观察到 $(I+B) u=0$ 暗示 $B u=-u$ ，所以
$$
|u|=|B u| \text {. }
$$
回顾
$$
|B u| \leq|B||u|
$$
对于每个从属规范。自从 $|B|<1$ ，如果 $u \neq 0$ ，然后
$$
|B u|<|u|,
$$
这与 $|u|=|B u|$. 因此，我们必须有 $u=0$ ，这证明 $I+B$ 是单射的，因此是双射的，即可逆的。然后我 们有
$$
(I+B)^{-1}+B(I+B)^{-1}=(I+B)(I+B)^{-1}=I,
$$
所以我们得到
$$
(I+B)^{-1}=I-B(I+B)^{-1}
$$
这产生了
，最后，
$$
\left|(I+B)^{-1}\right| \leq 1+|B|\left|(I+B)^{-1}\right|
$$
$$
\left|(I+B)^{-1}\right| \leq \frac{1}{1-|B|} .
$$

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