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计算机代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Bland’s Rule
The second method for dealing with degeneracy is to modify the simplex algorithm by Bland’s rule as follows:
- Choose the entering column index $j^$ satisfying $$ j^=\min \left{j \in \bar{I} \mid c_j>0\right} .
$$ - Choose the row index $i^$ which is the smallest one if there are more than one $i^$ satisfying
$$
\frac{b_i{ }^}{a_{i^ j^}}=\min \left{\frac{b_i}{a_{i j^}} \mid a_{i j^*}>0\right} .
$$
Theorem 6.3.1 With Bland’s rule, simplex algorithm will not run into a cycle, so that within finitely many iterations, the algorithm is able to determine whether the optimal value goes to infinity or not, and if the optimal value is finite, then the algorithm will obtain an optimal solution.
Proof It is sufficient to show that with Bland’s rule, simplex algorithm will not run into a cycle. For contradiction, suppose a cycle exists. For simplicity of discussion, we delete all constraints with row indices not selected in the cycle. Thus, for remaining row index $i, b_i=0$ since objective function value cannot be changed during computation of the cycle. In this cycle, there also exist some column indices entering the feasible basis and then leaving or vice versa. Let $t$ be the largest column index among them. For simplicity of discussion, we also delete all columns with index $j>t$ since we will always assign 0 to variable $x_j$ for $j>t$. Next, let us consider two moments in this cycle.
At the first moment, $t$ leaves the feasible basis. Assume column index $s$ enters the feasible hasis. Denote hy $a_{i j}$ and $c_j$ coefficients of constraints and cost, respectively, at this moment.
At the second moment, $t$ enters the feasible basis. Denote by $a_{i j}^{\prime}$ and $c_j^{\prime}$ coefficients of constraints and cost, respectively.
计算机代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Initial Feasible Basis
How do we find the initial feasible basis? A popular way is to introduce artificial variables $y=\left(y_1, y_2, \ldots, y_m\right)^T$ and solve the following LP:
$$
\begin{aligned}
\max & w=-e y \
\text { subject to } & A x+I_m y=b \
& x \geq 0, y \geq 0,
\end{aligned}
$$
where $e=(1,1, \ldots, 1)$ and $I_m$ is the identity matrix of order $m$. In this I.P, those artificial variables form a feasible basis. There are three possible outcomes resulting from solving this LP.
(1) The cost function value $w$ is reduced to 0 and all artificial variables are removed from the feasible basis. In this case, the final feasible basis can be used as initial feasible basis in original LP.
(2) The cost function reaches a negative maximum value. In this case, the original LP has no feasible solution.
(3) The cost function value $w$ is reduced to 0 ; however, there is an artificial variable $y_i$ in the feasible basis. Let $b_i$ and $a_{i j}$ denote coefficients of constraints at the last moment. In this case, we must have $y_i=b_i=0$; otherwise, $w=e y>0$. Note that there exists a variable $x_j$ such that $a_{i j} \neq 0$ since $\operatorname{rank}(A)=m$. This means that we may take $a_{i j}$ as pivot element to move $y_i$ out from feasible basis and to move in $x_j$, preserving cost function value 0 . When all artificial variables are moved out from the feasible basis, this case is reduced to case (1).
组合优化代考
计算机代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Bland’s Rule
处理退化的第二种方法是通过 Bland 规则修改单纯形算法如下：
- 选择输入列索引j^j^令人满意的j^=\min \left{j \in \bar{I} \mid c_j>0\right} 。j^=\min \left{j \in \bar{I} \mid c_j>0\right} 。
- 选择行索引我^我^如果有多个，哪个是最小的我^我^令人满意的
\frac{b_i{ }^}{a_{i^ j^}}=\min \left{\frac{b_i}{a_{i j^}} \mid a_{i j^*}>0\right} 。\frac{b_i{ }^}{a_{i^ j^}}=\min \left{\frac{b_i}{a_{i j^}} \mid a_{i j^*}>0\right} 。
定理 6.3.1 根据 Bland 规则，单纯形算法不会陷入循环，因此在有限多次迭代内，算法能够确定最优值是否趋于无穷大，如果最优值是有限的，则算法会得到一个最优解。
证明 足以证明，在 Bland 规则下，单纯形算法不会陷入循环。对于矛盾，假设存在一个循环。为简化讨论，我们删除了循环中未选择行索引的所有约束。因此，对于剩余的行索引一世,b一世=0因为在循环计算期间目标函数值不能改变。在这个循环中，也存在一些列索引进入可行基然后离开，反之亦然。让吨是其中最大的列索引。为了讨论的简单，我们还删除了所有有索引的列j>吨因为我们总是将 0 分配给变量Xj为了j>吨. 接下来，让我们考虑这个循环中的两个时刻。
在第一时间，吨留下可行的基础。假设列索引s进入可行的hasis。表示 hy一个一世j和Cj此时，约束系数和成本系数分别为。
在第二个时刻，吨进入可行基础。表示为一个一世j′和Cj′约束和成本的系数，分别。
计算机代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Initial Feasible Basis
我们如何找到最初的可行基础？一种流行的方法是引入人工变量是=(是1,是2,…,是米)吨并解决以下 LP：
最大限度在=−和是 受制于 一个X+我米是=b X≥0,是≥0,
在哪里和=(1,1,…,1)和我米是阶单位矩阵米. 在这个IP中，那些人为的变量构成了一个可行的基础。解决此 LP 会产生三种可能的结果。
(1)成本函数值在减少到 0 并且所有人工变量都从可行基础中删除。在这种情况下，最终可行基可以用作原始 LP 中的初始可行基。
(2)成本函数达到负最大值。在这种情况下，原来的 LP 没有可行的解决方案。
(3)成本函数值在减少到 0 ; 但是，有一个人为变量是一世在可行的基础上。让b一世和一个一世j表示最后时刻的约束系数。在这种情况下，我们必须有是一世=b一世=0; 否则，在=和是>0. 请注意，存在一个变量Xj这样一个一世j≠0自从秩(一个)=米. 这意味着我们可以采取一个一世j作为枢轴元素移动是一世从可行的基础上移出并搬入Xj，保留成本函数值 0 。当所有人工变量都从可行基中移出时，这种情况就简化为情况（1）。
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