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计算机代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Matching

In this section, we study matching in a directed way. First, we define the augmenting path as follows.

Consider a matching $M$ in a bipartite graph $G=(U, V, E)$. Let us call every edge in $M$ as matched edge and every edge not in $M$ as unmatched edge. A node $v$ is called a free node if $v$ is not an ending point of a matched edge.

Definition 5.4.1 (Augmenting Path) The augmenting path is now defined to be a path satisfying the following:

  • It is an alternating path, that is, edges on the path are alternatively unmatched and matched.
  • The path is between two free nodes.
    There are totally odd number of edges in an augmenting path. The number of unmatched edges is one more than the number of matched edges. Therefore, on an augmenting path, turn all matched edges to unmatched and turn all unmatched edges to matched. Then considered matching will become a matching with one more edge. Therefore, if a matching $M$ has an augmenting path, then $M$ cannot be maximum. The following theorem indicates that the inverse holds.

Theorem 5.4.2 A matching $M$ is maximum if and only if $M$ does not have an augmenting path.

Proof Let $M$ be a matching without augmenting path. For contradiction, suppose $M$ is not maximum. Let $M^$ be a maximum matching. Then $|M|<\left|M^\right|$. Consider $M \oplus M^=\left(M \backslash M^\right) \cup\left(M^* \backslash M\right)$, in which every node has degree at most two (Fig. 5.11).

Hence, it is disjoint union of paths and cycles. Since each node with degree two must be incident to two edges belonging to $M$ and $M^{\prime}$, respectively. Those paths and cycles must be alternative. They can be classified into four types as shown in Fig. 5.12.

Note that in each of the first three types of connected components, the number of edges in $M$ is not less than the number of edges in $M^$. Since $|M|<\left|M^\right|$, we have $\left|M \backslash M^\right|<\left|M^ \backslash M\right|$. Therefore, the connected component of the fourth type must exist, that is, $M$ has an augmenting path, a contradiction.

计算机代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Dinitz Algorithm

In this and the next sections, we present more algorithms for the maximum flow problem. They have running time better than Edmonds-Karp algorithm.

First, we note that the idea in Hopcroft-Karp algorithm can be extended from matching to flow. This extension gives a variation of Edmonds-Karp algorithm, called Dinitz algorithm.

Consider a flow network $G=(V, E)$. The algorithm starts with a zero flow $f(u, v)=0$ for every arc $(u, v)$. In each substantial iteration, consider residual network $G_f$ for flow $f$. Start from source node $s$ to do the breadth-first search until node $t$ is reached. If $t$ cannot be researched, then algorithm stops, and the maximum flow is already obtained. If $t$ is reached with distance $\ell$ from node $s$, then the breadth-first-search tree contains $\ell$ level, and its nodes are divided into $\ell$ classes $V_0, V_1, \ldots, V_{\ell}$ where $V_i$ is the set of all nodes each with distance $i$ from $s$ and $\ell \leq|V|$. Cólléct âll ārcs from $V_l$ tō $V_{l+1}$ för $i=0,1, \ldots, \ell-1$. Lêt $L(s)$ bẻ the obtained levelable subnetwork. Above computation can be done in $O(|E|)$ time.
Next, the algorithm finds augmenting paths to do augmentations in the following way.

Step 1. Iteratively, for $v \neq t$ and $u \neq s$, remove, from $L(s)$, every arc $(u, v)$ with no coming arc at $u$ or no outgoing arc at $v$. Denote by $\hat{L}(s)$ the obtained levelable network.
Step 2. If $\hat{L}(s)$ is empty, then this iteration is completed, and go to the next iteration. If $\hat{L}(s)$ is not empty, then it contains a path of length $\ell$, from $s$ to $t$. Find such a path $P$ by using the depth-first search. Do augmentation along the path $P$. Update $L(s)$ by using $\hat{L}(s)$ and deleting all critical arcs on $P$. Go to Step 1.
This algorithm has the following property.

计算机代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|COMP567

组合优化代考

计算机代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Matching

在本节中,我们以定向的方式研究匹配。首先,我们定义增广路径如下。

考虑匹配米在二分图中G=(在,在,和). 让我们把每一条边都称为米作为匹配的边缘,并且每个边缘都不在米作为无与伦比的边缘。一个节点在被称为自由节点,如果在不是匹配边的终点。

定义 5.4.1(增广路径) 现在将增广路径定义为满足以下条件的路径:

  • 它是一条交替路径,即路径上的边交替不匹配和匹配。
  • 该路径位于两个空闲节点之间。
    在增广路径中有完全奇数个边。不匹配边的数量比匹配边的数量多一。因此,在增广路径上,将所有匹配的边变为不匹配的,并将所有不匹配的边变为匹配的。然后考虑的匹配将成为与多一条边的匹配。因此,如果匹配米有一条增广路径,那么米不能是最大值。以下定理表明逆成立。

定理 5.4.2 A 匹配米是最大值当且仅当米没有增广路径。

证明让米是不增加路径的匹配。对于矛盾,假设米不是最大值。让米^米^是最大匹配。然后|M|<\左|M^\右||M|<\左|M^\右|. 考虑M \oplus M^=\left(M \反斜杠 M^\right) \cup\left(M^* \反斜杠 M\right)M \oplus M^=\left(M \反斜杠 M^\right) \cup\left(M^* \反斜杠 M\right),其中每个节点的度数最多为 2(图 5.11)。

因此,它是路径和循环的不相交联合。由于每个度数为 2 的节点必须与属于米和米′, 分别。这些路径和周期必须是可替代的。它们可以分为四种类型,如图 5.12 所示。

请注意,在前三种类型的连通分量中,边数米不小于中的边数米^米^. 自从|M|<\左|M^\右||M|<\左|M^\右|, 我们有\left|M \反斜杠 M^\right|<\left|M^ \反斜杠 M\right|\left|M \反斜杠 M^\right|<\left|M^ \反斜杠 M\right|. 因此,第四类连通分量一定存在,即米有一个增广的路径,一个矛盾。

计算机代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Dinitz Algorithm

在本节和下一节中,我们将介绍更多用于最大流量问题的算法。它们的运行时间比 Edmonds-Karp 算法好。

首先,我们注意到 Hopcroft-Karp 算法中的思想可以从匹配扩展到流。此扩展提供了 Edmonds-Karp 算法的变体,称为 Dinitz 算法。

考虑一个流网络G=(在,和). 该算法从零流量开始F(在,在)=0对于每一个弧(在,在). 在每次实质性迭代中,考虑残差网络GF流量F. 从源节点开始s做广度优先搜索直到节点吨到达了。如果吨无法研究,则算法停止,已经获得最大流量。如果吨远距离到达ℓ从节点s,则广度优先搜索树包含ℓ级,其节点分为ℓ班级在0,在1,…,在ℓ在哪里在一世是所有节点的集合,每个节点都有距离一世从s和ℓ≤|在|. 收集来自的所有弧在l您的在l+1为了一世=0,1,…,ℓ−1…… 让大号(s)bẻ 获得的可水平子网。上面的计算可以在○(|和|)时间。
接下来,该算法通过以下方式找到增强路径以进行增强。

步骤 1. 迭代地,对于在≠吨和在≠s, 从…除去大号(s), 每条弧(在,在)没有即将到来的弧线在或在在. 表示为大号^(s)得到的可平整网络。
步骤 2. 如果大号^(s)为空,则本次迭代完成,进入下一次迭代。如果大号^(s)不为空,则它包含一个长度的路径ℓ, 从s至吨. 找到这样的路径磷通过使用深度优先搜索。沿路径进行增强磷. 更新大号(s)通过使用大号^(s)并删除所有关键弧磷. 转到步骤 1。
该算法具有以下性质。

数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考

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