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计算机代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Goldberg-Tarjan Algorithm

In this section, we study a different type of incremental method for maximum network flow. In this method, a valid label will play an important role. This valid label will be on each arc to guide the incremental direction.

Consider a flow network $G=(V, E)$ with capacity $c(u, v)$ for each arc $(u, v) \in$ $E ; s$ and $t$ are source and sink, respectively. As usual, for simplicity of description, we extend capacity $c(u, v)$ to every pair of nodes $u$ and $v$ by defining $c(u, v)=0$ if $(u, v) \notin E$.
A function $f: V \times V \rightarrow R$ is called a preflow if

  1. (Capacity constraint) $f(u, v) \leq c(u, v)$ for every $u, v \in V$.
  2. (Skew symmetry) $f(u, v)=-f(v, u)$ for all $u, v \in V$.
  3. For every $v \in V \backslash{s, t}, \sum_{v \in V \backslash{u}} f(u, v) \geq 0$, i.e., $\sum_{(u, v) \in E} f(u, v) \geq$ $\sum_{(v, w) \in E} f(v, w)$

Compared with those three conditions in the definition of flow, the first two are the same, and the third one is different. The flow conservation condition is relaxed to allow more flow coming than going out at any node other than $s$ and $t$. This difference is called the excess at node $v$ and denotes
$$
e(v)=\sum_{(u, v) \in E} f(u, v) \geq \sum_{(v, w) \in E} f(v, w) .
$$
A node $v$ is said to be active if $e(v)>0, v \neq s$, and $v \neq t$. In preflow-relabel algorithm, the excess will be pushed from an active node toward the sink, relying on the valid distance label $d(v)$ for $v \in V$, satisfying the following conditions.

  • $d(t)=0$.
  • $d(u) \leq d(v)+1$ for $(u, v) \in E$.
    An $\operatorname{arc}(u, v)$ is said to be admissible if $d(u)=d(v)+1$ and $c(u, v)>0$. Note that if we consider a residual graph, then $c(u, v)$ should be considered as updated capacity.

计算机代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Simplex Algorithm

An LP is an optimization problem with linear objective function and a constraint system of equalities and inequalities. The following is an example:
maximize $z=4 x+5 y$
subject to $2 x+3 y \leq 60$
$$
x \geq 0, y \geq 0 \text {. }
$$
This example can be explained in the Euclidean plane as shown in Fig. 6.1. Each of three inequalities gives a half plane. Their intersection is a triangle, which is called a feasible domain. In general, the feasible domain of an LP is the set of all points satisfying all constraints. For different value of $z, z=4 x+5 y$ gives different lines which form a family of parallel lines. When $z$ increases, line $z=4 x+5 y$ moves from left to right, and at point $(30,0)$, it is the last moment to intersect the feasible domain. Hence, $(30,0)$ is the point at which $z=4 x+5 y$ reaches its maximum value, i.e., 120 .

In general, an LP may contain a large number of variables and a large number of constraints and hence cannot be solved geometrically as above. However, above example gives us a hint to find a general method. An important observation is that the maximum value of objective function is achieved at a vertex of the feasible domain. This observation suggests an incremental method as follows: Start from a vertex of the feasible domain and move from a vertex to another vertex with improvement on objective function value.

Before we implement this idea, let us look at a standard form of LP. Every LP can be transformed into the following form:
$$
\begin{aligned}
\max & z=c x \
\text { s.t. } & A x=b \
& x \geq 0,
\end{aligned}
$$
where $c$ is an $n$-dimensional row vector; $b$ is an $m$-dimensional column vector; $A$ is an $m \times n$ coefficient matrix with rank $m$, i.e., $\operatorname{rank}(A)=m$; and $x$ is a column vector with $n$ variables as components. Thus, the above example can be transformed into the following:
$$
\begin{array}{ll}
\operatorname{maximize} & z=4 x+5 y \
\text { subject to } & 2 x+3 y+w=60 \
& x \geq 0, y \geq 0, w \geq 0 .
\end{array}
$$

计算机代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|APM6664

组合优化代考

计算机代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Goldberg-Tarjan Algorithm

在本节中,我们研究了一种不同类型的最大网络流量增量方法。在这种方法中,有效的标签将发挥重要 作用。该有效标签将位于每个弧上以指导增量方向。
考虑一个流网络 $G=(V, E)$ 有能力 $c(u, v)$ 对于每个弧 $(u, v) \in E ; s$ 和 $t$ 分别是源和汇。像往常一样,为 了描述的简单,我们扩展了容量 $c(u, v)$ 到每一对节点 $u$ 和 $v$ 通过定义 $c(u, v)=0$ 如果 $(u, v) \notin E$. 一个函数 $f: V \times V \rightarrow R$ 称为预流,如果

  1. (容量限制) $f(u, v) \leq c(u, v)$ 对于每个 $u, v \in V$.
  2. (斜对称) $f(u, v)=-f(v, u)$ 对所有人 $u, v \in V$.
  3. 对于每一个v $\in V \backslash s, t, \sum_{v \in V \backslash u} f(u, v) \geq 0$ ,那是, $\sum_{(u, v) \in E} f(u, v) \geq \sum_{(v, w) \in E} f(v, w)$
    与流定义中的这三个条件相比,前两个相同,第三个不同。放宽了流量守恒条件,以允许在除 $s$ 和 $t$. 这种 差异称为节点处的过剩 $v$ 并表示
    $$
    e(v)=\sum_{(u, v) \in E} f(u, v) \geq \sum_{(v, w) \in E} f(v, w) .
    $$
    一个节点 $v$ 据说是活跃的,如果 $e(v)>0, v \neq s$ ,和 $v \neq t$. 在 preflow-relabel 算法中,多余的将从活动 节点推向汇点,依赖于有效的距离标签 $d(v)$ 为了 $v \in V$ ,满足以下条件。
  • $d(t)=0$.
  • $d(u) \leq d(v)+1$ 为了 $(u, v) \in E$.
    一个 $\operatorname{arc}(u, v)$ 被认为是可接受的,如果 $d(u)=d(v)+1$ 和 $c(u, v)>0$. 请注意,如果我们考虑残差 图,则 $c(u, v)$ 应视为更新容量。

计算机代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Simplex Algorithm

LP是具有线性目标函数和等式和不等式约束系统的优化问题。下面是一个例子:
最大化 $z=4 x+5 y$
受制于 $2 x+3 y \leq 60$
$$
x \geq 0, y \geq 0 .
$$
这个例子可以在欧几里得平面中解释,如图 6.1 所示。三个不等式中的每一个都给出一个半平面。它们 的交点是一个三角形,称为可行域。通常, LP 的可行域是满足所有约束的所有点的集合。对于不同的价 值 $z, z=4 x+5 y$ 给出形成平行线族的不同线. 什么时候 $z$ 增加,线 $z=4 x+5 y$ 从左到右移动,在点 $(30,0)$ ,这是与可行域相交的最后时刻。因此, $(30,0)$ 是点 $z=4 x+5 y$ 达到最大值,即 120 。
通常,LP 可能包含大量变量和大量约束,因此无法像上面那样进行几何求解。然而,上面的例子给了我 们一个寻找通用方法的提示。一个重要的观察是目标函数的最大值是在可行域的顶点处实现的。这一观 察结果提出了一种增量方法,如下所示: 从可行域的一个顶点开始,从一个顶点移动到另一个顶点,同 时提高目标函数值。
在我们实现这个想法之前,让我们看一下LP的标准形式。每个 LP 都可以转换为以下形式:
$$
\max z=c x \text { s.t. } A x=b x \geq 0,
$$
在哪里 $c$ 是一个 $n$-维行向量; $b$ 是一个 $m$-维列向量; $A$ 是一个 $m \times n$ 带秩的系数矩阵 $m$ ,那是, $\operatorname{rank}(A)=m ;$ 和 $x$ 是一个列向量 $n$ 变量作为组件。因此,上面的例子可以转化为:
maximize $\quad z=4 x+5 y$ subject to $\quad 2 x+3 y+w=60 \quad x \geq 0, y \geq 0, w \geq 0$.

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