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16 The numbers $1,2, \ldots, 9$ are randomly placed into the 9 squares of a $3 \times 3$ grid. Each square gets one number, and each of the numbers is used once. What is the probability that the sum of the numbers in each row and each column is odd?
(A) $1 / 21$
(B) $1 / 14$
(C) $5 / 63$
(D) $2 / 21$
(E) $1 / 7$
17 Let $s_k$ denote the sum of the kth powers of the roots of the polynomial $x^3-5 x^2+8 x-13$. In particular, $s_0=3, s_1=5$, and $s_2=9$. Let $a, b$, and $c$ be real numbers such that $s_{k+1}=$ $a s_k+b s_{k-1}+c s_{k-2}$ for $k=2,3, \ldots$. What is $a+b+c$ ?
(A) $-6$
(B) 0
(C) 6
(D) 10
(E) 26
18 A sphere with center $O$ has radius 6 . A triangle with sides of length 15,15 , and 24 is situated in space so that each of its sides is tangent to the sphere. What is the distance between $O$ and the plane determined by the triangle?
(A) $2 \sqrt{3}$
(B) 4
(C) $3 \sqrt{2}$
(D) $2 \sqrt{5}$
(E) 5
19 In $\triangle A B C$ with integer side lengths, $\cos A=\frac{11}{16}, \quad \cos B=\frac{7}{8}, \quad$ and $\quad \cos C=-\frac{1}{4}$.
What is the least possible perimeter for $\triangle A B C$ ?
(A) 9
(B) 12
(C) 23
(D) 27
(E) 44
20 Real numbers between 0 and 1 , inclusive, are chosen in the following manner. A fair coin is flipped. If it lands heads, then it is flipped again and the chosen number is 0 if the second flip is heads and 1 if the second flip is tails. On the other hand, if the first coin flip is tails, then the number is chosen uniformly at random from the closed interval $[0,1]$. Two random numbers $x$ and $y$ are chosen independently in this manner. What is the probability that $|x-y|>\frac{1}{2}$ ?
$(\mathrm{A}) \frac{1}{3}$
(B) $\frac{7}{16}$
(C) $\frac{1}{2}$
(D) $\frac{9}{16}$
(E) $\frac{2}{3}$
21 Let
$$z=\frac{1+i}{\sqrt{2}} .$$
What is
$$\left(z^{1^2}+z^{2^2}+z^{3^2}+\cdots+z^{12^2}\right) \cdot\left(\frac{1}{z^{1^2}}+\frac{1}{z^{2^2}}+\frac{1}{z^{3^2}}+\cdots+\frac{1}{z^{12^2}}\right) ?$$
(A) 18
(B) $72-36 \sqrt{2}$
(C) 36
(D) 72
(E) $72+36 \sqrt{2}$

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22 Circles $\omega$ and $\gamma$, both centered at $O$, have radii 20 and 17 , respectively. Equilateral triangle $A B C$, whose interior lies in the interior of $\omega$ but in the exterior of $\gamma$, has vertex $A$ on $\omega$, and the line containing side $\overline{B C}$ is tangent to $\gamma$. Segments $\overline{A O}$ and $\overline{B C}$ intersect at $P$, and $\frac{B P}{C P}=3$. Then $A B$ can be written in the form $\frac{m}{\sqrt{n}}-\frac{p}{\sqrt{q}}$ for positive integers $m, n, p, q$ with $\operatorname{gcd}(m, n)=\operatorname{gcd}(p, q)=1$. What is $m+n+p+q$ ?
(A) 42
(B) 86
(C) 92
(D) 114
(E) 130
23 Define binary operations $\diamond$ and $\otimes$ by
$$a \diamond b=a^{\log 7(b)} \quad \text { and } \quad a \otimes b=a^{\frac{1}{\log (b)}}$$ for all real numbers $a$ and $b$ for which these expressions are defined. The sequence $\left(a_n\right)$ is defined recursively by $a_3=3 \odot 2$ and $$a_n=(n \vee(n-1)) \diamond a{n-1}$$
for all integers $n \geq 4$. To the nearest integer, what is $\log 7\left(a{2019}\right)$ ?
(A) 8
(B) 9
(C) 10
(D) 11
(E) 12
24 For how many integers $n$ between 1 and 50 , inclusive, is
$$\frac{\left(n^2-1\right) !}{(n !)^n}$$
an integer? (Recall that $0 !=1$.)
(A) 31
(B) 32
(C) 33
(D) 34
(E) 35
25 Let $\triangle A_0 B_0 C_0$ be a triangle whose angle measures are exactly $59.999^{\circ}, 60^{\circ}$, and $60.001^{\circ}$. For each positive integer $n$ define $A_n$ to be the foot of the altitude from $A_{n-1}$ to line $B_{n-1} C_{n-1}$. Likewise, define $B_n$ to be the foot of the altitude from $B_{n-1}$ to line $A_{n-1} C_{n-1}$, and $C_n$ to be the foot of the altitude from $C_{n-1}$ to line $A_{n-1} B_{n-1}$. What is the least positive integer $n$ for which $\triangle A_n B_n C_n$ is obtuse?
(A) 10
(B) 11
(C) 13
(D) 14
(E) 15

# 美国数学竞赛代考

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16 数字1,2,…,9被随机放入a的9个方格中3×3网格。每个方格有一个数字，每个数字使用一次。每行和每列数字之和为奇数的概率是多少？
（一个）1/21
(乙)1/14
（C）5/63
(四)2/21
（和）1/7
17 让sķ表示多项式根的 k 次方之和X3−5X2+8X−13. 尤其是，s0=3,s1=5， 和s2=9. 让一个,b， 和C是实数，使得sķ+1= 一个sķ+bsķ−1+Csķ−2为了ķ=2,3,…. 什么是一个+b+C?
（一个）−6
(B) 0
(C) 6
(D) 10
(E) 26
18 带中心的球体○半径为 6 。一个边长为 15,15 和 24 的三角形位于空间中，因此它的每个边都与球体相切。之间的距离是多少○和由三角形确定的平面？
（一个）23
(B) 4
(C)32
(四)25
(E) 5
19 英寸△一个乙C具有整数边长，因⁡一个=1116,因⁡乙=78,和因⁡C=−14.

(A) 9
(B) 12
(C) 23
(D) 27
(E) 44
20 0 和 1 之间的实数，包括 0 和 1，按以下方式选择。一个公平的硬币被翻转。如果它正面朝上，那么它会再次翻转，如果第二次翻转是正面，则选择的数字为 0，如果第二次翻转是反面，则选择的数字为 1。另一方面，如果第一次抛硬币是反面，则从闭合区间中均匀随机选择数字[0,1]. 两个随机数X和是以这种方式独立选择。发生的概率是多少|X−是|>12 ?
(一个)13
(乙)716
（C）12
(四)916
（和）23
21 让

(和12+和22+和32+⋯+和122)⋅(1和12+1和22+1和32+⋯+1和122)?
(A) 18
(B)72−362
(C) 36
(D) 72
(E)72+362

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22圈哦和C, 都集中在○, 半径分别为 20 和 17 。等边三角形一个乙C，其内部位于哦但在外部C, 有顶点一个上哦，以及包含边的行乙C¯相切C. 细分市场一个○¯和乙C¯相交于磷， 和乙磷C磷=3. 然后一个乙可以写成形式米n−pq对于正整数米,n,p,q和gcd⁡(米,n)=gcd⁡(p,q)=1. 什么是米+n+p+q?
(A) 42
(B) 86
(C) 92
(D) 114
(E) 130
23 定义二元运算⋄和⊗经过

(A) 8
(B) 9
(C) 10
(D) 11
(E) 12
24 有多少个整数n在 1 和 50 之间，包括在内，是

(n2−1)!(n!)n

(A) 31
(B) 32
(C) 33
(D) 34
(E) 35
25 让△一个0乙0C0是一个三角形，其角度测量值恰好是59.999∘,60∘， 和60.001∘. 对于每个正整数n定义一个n成为海拔的脚一个n−1到线乙n−1Cn−1. 同样，定义乙n成为海拔的脚乙n−1到线一个n−1Cn−1， 和Cn成为海拔的脚Cn−1到线一个n−1乙n−1. 最小正整数是多少n为此△一个n乙nCn是钝的？
(A) 10
(B) 11
(C) 13
(D) 14
(E) 15

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