## amc代考美国数学竞赛代考American Mathematics Competitions代考|2021 AMC 12/AHSME

19 Two fair dice, each with at least 6 faces, are rolled. On each face of each die is printed a distinct integer from 1 to the number of faces on that die, inclusive. The probability of rolling a sum of 7 is 34 of the probability of rolling a sum of 10 and the probability of rolling a surn of 12 is 112. What is the least possible number of faces on the two dice combined?
(A) 16
(B) 17
(C) 18
(D) 19
(E) 20
20 Let Q(z) and R(z) be the unique polynomials such that

z2021+1=(z2+z+1)Q(z)+R(z)
and the degree of R is less than 2 . What is R(z) ?
(A) −z
(B) −1
(C) 2021
(D) z+1
(E) 2z+1
21 Let S be the sum of all positive real numbers x for which

x22=22x.
Which of the following statements is true?
(A) S<2
(B) S=2
(C) 2<S<2
(D) 2≤S<6
(E) S≥6
22 Arjun and Beth play a game in which they take turns removing one brick or two adjacent bricks from one “wall” among a set of several walls of bricks, with gaps possibly creating new walls. The walls are one brick tall. For example, a set of walls of sizes 4 and 2 can be changed into any of the following by one move: (3,2),(2,1,2),(4),(4,1),(2,2), or (1,1,2).

Arjun plays first, and the player who removes the last brick wins. For which starting configuration is there a strategy that guarantees a win for Beth?
(A) (6,1,1)
(B) (6,2,1)
(C) (6,2,2)
(D) (6,3,1)
(E) (6,3,2)
23 Three balls are randomly and independently tossed into bins numbered with the positive integers so that for each ball, the probability it is tossed into bin i is 2−i for i=1,2,3,… More than one ball is allowed in each bin. The probability that the balls end up evenly spaced in distinct bins is pq, where p and q are relatively prime positive integers. (For example, the balls are evenly spaced if they are tossed into bins 3,17 , and 10 .) What is p+q ?
(A) 55
(B) 56
(C) 57
(D) 58
(E) 59

## amc代考美国数学竞赛代考American Mathematics Competitions代考|2021 AMC 12/AHSME

Let ABCD be a parallelogram with area 15. Points P and Q are the projections of A and C, respectively, onto the line BD; and points R and S are the projections of B and D, respectively, onto the line AC. See the figure, which also shows the relative locations of these points.

Suppose PQ=6 and RS=8, and let d denote the length of BD¯, the longer diagonal of ABCD. Then d2 can be written in the form m+np, where m,n, and p are positive integers and p is not divisible by the square of any prime. What is m+n+p ?
(A) 81
(B) 89
(C) 97
(D) 105
(E) 113
25 Let S be the set of lattice points in the coordinate plane, both of whose coordinates are integers between 1 and 30 , inclusive. Exactly 300 points in S lie on or below a line with equation y=mx. The possible values of m lie in an interval of length ab, where a and b are relatively prime positive integers. What is a+b ?
(A) 31
(B) 47
(C) 62
(D) 72
(E) 85

# 美国数学竞赛代考

## amc代考美国数学竞赛代考American Mathematics Competitions代考|2021 AMC 12/AHSME

19 掷两个骰子，每个骰子至少有 6 个面。在每个骰子的每个面上都印有一个不同的整数，从 1 到该骰子上的面 数 (含)。滚动总和为 7 的概率为 34 滚动总和为 10 的概率和滚动 surn 为 12 的概率为 112. 两个骰子加起来的最 少面数是多少?
(A) 16
(B) 17
(C) 18
(D) 19
(E) 20
20 让 Q(z) 和 R(z) 是唯一多项式，使得

z2021+1=(z2+z+1)Q(z)+R(z)

21 让 S 是所有正实数的总和 x 为此

x22=22x.

(乙) S=2
(C) 2<S<2
(四) 2≤S<6
(和) S≥6
22 Arjun 和 Beth 玩一个游戏，他们轮流从一组几堵砖墙中的一个”墙”上移走一块或两块相邻的砖，间隙可能会 形成新的墙。墙壁只有一砖高。例如，一组尺寸为 4 和 2 的墙可以通过一次移动变为以下任何一种: (3,2),(2,1,2),(4),(4,1),(2,2) ，或者 (1,1,2).
Arjun先玩，移走最后一块砖的玩家获胜。对于哪种起始配置，是否有保证Beth 获胜的策略?
(一个) (6,1,1) ( 乙) (6,2,1)
(C) (6,2,2)
(四) (6,3,1)
(和) (6,3,2)
23 三个球被随机且独立地扔到用正整数编号的箱子中，这样对于每个球，它被扔进箱子的概率 i 是 2−i 为了 i=1,2,3,… 每个垃圾箱中允许有一个以上的球。球最终均匀分布在不同的箱子中的概率是 pq ，在哪里 p 和 q 是互质的正整数。（例如，如果将球扔进箱 3,17 和 10 中，它们的间距是均匀的。）什么是 p+q ?
(A) 55
(B) 56
(C) 57
(D) 58
(E) 59

## amc代考美国数学竞赛代考American Mathematics Competitions代考|2021 AMC 12/AHSME

(A) 81
(B) 89
(C) 97
(D) 105
(E) 113
25 让 S 是坐标平面上的格点集合，其坐标均为 1 到 30 之间的整数，包括 1 和 30 。正好 300 分 S 位于等式线之 上或之下 y=mx. 的可能值 m 位于一个长度的区间 ab ，在哪里 a 和 b 是互质的正整数。什么是 a+b ?
(A) 31
(B) 47
(C) 62
(D) 72
(E) 85

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