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经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Individual greediness and public welfare
Let us assume that $N$ is a society whose common welfare is expressed by the potential $v$ on the family $\mathcal{N}$ of all possible coalitions: If the members of $N$ decide to join in a coalition $S \subseteq N$, then the value $v(S)$ will be produced.
If all members of $N$ act purely greedily, an $i \in N$ has an incentive to change its decision with respect to the current coalition $S$ depending on its marginal value $\partial_i v(S)$ being positive or negative. This behavior, however, will not guarantee a high public welfare.
The METropolis process suggests that the public welfare can be steered if an incentive is provided such that $i$ enacts a move $S \rightarrow$ $S \Delta{i}$ (i.e., changes its decision) with a non-zero probability
$$
\alpha_i^T(S)=e^{\partial_i v(S) / T} \quad \text { (even) if } \partial_i v(S)<0 . $$ If the control parameter $T>0$ is sufficiently small, the behavior of an $i \in N$ is “almost purely greedy” in the sense
$$
T \rightarrow 0 \quad \Longrightarrow \quad \alpha_i^T(S) \rightarrow 0 \quad \text { if } \partial_i v(S)<0 . $$ Moreover, a small temperature $T>0$ in the coalition formation process allows us to expect a high public welfare.
经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Equilibria in cooperative games
In many cooperative games, the grand coalition offers an obvious equilibrium if the players’ utilities are assessed by their marginal values:
LemMA 8.5. Let $(N, v)$ be a cooperative game. Then the two statements are equivalent:
(1) $N$ is a gain equilibrium with respect to the individual utility functions $u_i(S)=\partial_i v(S)$.
(2) $v(N) \geq v(N \backslash i)$ for all $i \in N$.
In general, we may view $(N, v)$ as an $n$-person matrix game with individual utilities
$$
u_i(S)=\partial_i v(S)=v(S \Delta i)-v(S) .
$$
Hence we know from NASH’s Theorem $6.1$ that the randomization of $(N, v)$ admits an equilibrium.
Remark 8.15. The randomization of $(N, v)$ means that each $i \in N$ selects a probability $0 \leq w_i \leq 1$ for the probability to become active.
博弈论代考
经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Individual greediness and public welfare
让我们假设 $N$ 是一个社会，其共同福利由潜力表达 $v$ 关于家庭 $\mathcal{N}$ 所有可能的联盟: 如果 $N$ 决定加入联盟 $S \subseteq N$ ，那么值 $v(S)$ 将产生。
如果所有成员 $N$ 纯粹贪婪地行事， $i \in N$ 有动机改变其对当前联盟的决定 $S$ 取决于它的边际价值 $\partial_i v(S)$ 是积极的还是消极的。然而，这种行为并不能保证较高的公共福利。
MEtropolis 流程表明，如果提供激励措施，可以引导公共福利：采取行动 $S \rightarrow S \Delta i$ (即，改变其决 定) 具有非零概率
$$
\alpha_i^T(S)=e^{\partial_i v(S) / T} \quad \text { (even) if } \partial_i v(S)<0 . $$ 如果控制参数 $T>0$ 足够小，一个行为 $i \in N$ 在某种意义上是“几乎纯粹的贪婪”
$$
T \rightarrow 0 \quad \Longrightarrow \quad \alpha_i^T(S) \rightarrow 0 \quad \text { if } \partial_i v(S)<0 $$ 此外，温度低 $T>0$ 在联盟的形成过程中，我们可以期待很高的公益性。
经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Equilibria in cooperative games
在许多合作博亦中，如果参与者的效用由他们的边际价值来评估，那么大联盟提供了一个明显的均衡：
引理 8.5。让 $(N, v)$ 做一个合作游戏。那么这两个语句是等价的:
(1) $N$ 是关于个体效用函数的增益均衡 $u_i(S)=\partial_i v(S)$.
(2) $v(N) \geq v(N \backslash i)$ 对所有人 $i \in N$.
一般来说，我们可以查看 $(N, v)$ 作为一个 $n$ – 具有个人效用的人矩阵游戏
$$
u_i(S)=\partial_i v(S)=v(S \Delta i)-v(S) .
$$
因此我们从 NASH 定理知道 $6.1$ 随机化 $(N, v)$ 承认平衡。
备注 8.15。随机化 $(N, v)$ 意味着每个 $i \in N$ 选择一个概率 $0 \leq w_i \leq 1$ 为活跃的概率。
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