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经济代写|博弈论代写Game Theory代考|The value of Banzhaf
As an example, let us assume that a player $i$ joins any of the $2^{n-1}$ coalitions $S \subseteq N \backslash{i}$ with equal likelihood, i.e., with probability
$$
\pi_S^B=\frac{1}{2^{n-1}} .
$$
Consider the unanimity game $v_T=\widehat{\delta}T$ and observe that $\partial_i v_T(S)=0$ holds if $i \notin T$. On the other hand, if $i \in T$, then one has $$ \partial_i v_T(S)=1 \Longleftrightarrow T \backslash{i} \subseteq S . $$ So the number of coalitions $S$ with $\partial_i v_T(S)=1$ equals $$ |{S \subseteq N \backslash{i} \mid T \subseteq S \cup{i}}|=2^{n-|T|-1} . $$ Hence we conclude $$ E_i^{\pi^B}\left(v_T\right)=\sum{S \subseteq N \backslash{i}} \partial_i v_T(S) \pi_S^B=\frac{2^{n-|T|-1}}{2^{n-1}}=\frac{1}{2^{|T|}},
$$
which means that the random value $E^{\pi^B}$ is identical with the BANZHAF power index. The probabilistic approach yields the explicit formula
$$
\Phi_i^B(v)=F_i^{\pi^B}(v)=\frac{1}{2^{n-1}} \sum_{S \subseteq N \backslash{i}}(v(S \sqcup i)-v(S)) \quad(i \in N)
$$
经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Marginal vectors and the Shapley value
Let us imagine that the members of $N$ build up the “grand coalition” $N$ in a certain order
$$
\sigma=i_1 i_2 \ldots i_n
$$
and hence join in the sequence of coalitions
$$
\emptyset=S_0^\sigma \subset S_1^\sigma \cdots \subset S_k^\sigma \subset \cdots \subset S_n^\sigma=N
$$
where $S_k^\sigma=S_{k-1}^\sigma \cup\left{i_k\right}$ for $k=1, \ldots, n$. Given the game $(N, v), \sigma$ gives rise to the marginal vector ${ }^{21} \partial^\sigma(v) \in \mathbb{R}^N$ with components
$$
\partial_{i_k}^\sigma(v)=v\left(S_k^\sigma\right)-v\left(S_{k-1}^\sigma\right) \quad(k=1, \ldots, n) .
$$
Notice that $v \mapsto \partial^\sigma(v)$ is a linear value by itself. We can randomize this value by picking the order $\sigma$ from the set $\Sigma_N$ of all orders of $N$ according to a probability distribution $\pi$. Then the expected marginal vector
$$
\partial^\pi(v)=\sum_{\sigma \in \Sigma_N} \partial^\sigma(v) \pi_\sigma
$$
represents, of course, also a linear value on $\mathbb{R}^{\mathcal{N}}$.
Ex. 8.22. Show that the value $v \mapsto \partial^\pi(v)$ is linear and efficient. (Hint: Recall the discussion of the greedy algorithm for network connection games.)
博弈论代考
经济代写|博弈论代写Game Theory代考|The value of Banzhaf
作为一个例子，让我们假设一个玩家讱入任何 $2^{n-1}$ 联盟 $S \subseteq N \backslash i$ 具有相等的可能性，即具有概率
$$
\pi_S^B=\frac{1}{2^{n-1}} .
$$
考虑一致游戏 $v_T=\hat{\delta} T$ 并观察到 $\partial_i v_T(S)=0$ 持有如果 $i \notin T$. 另一方面，如果 $i \in T$ ，那么一个有
$$
\partial_i v_T(S)=1 \Longleftrightarrow T \backslash i \subseteq S .
$$
所以联盟的数量 $S$ 和 $\partial_i v_T(S)=1$ 等于
$$
|S \subseteq N \backslash i| T \subseteq S \cup i \mid=2^{n-|T|-1} .
$$
因此我们得出结论
$$
E_i^{\pi^B}\left(v_T\right)=\sum S \subseteq N \backslash i \partial_i v_T(S) \pi_S^B=\frac{2^{n-|T|-1}}{2^{n-1}}=\frac{1}{2^{|T|}},
$$
这意味着随机值 $E^{\pi^B}$ 与 BANZHAF 功率指数相同。概率方法产生显式公式
$$
\Phi_i^B(v)=F_i^{\pi^B}(v)=\frac{1}{2^{n-1}} \sum_{S \subseteq N \backslash i}(v(S \sqcup i)-v(S)) \quad(i \in N)
$$
经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Marginal vectors and the Shapley value
让我们想象一下，成员 $N$ 建立”大联盟” $N$ 按一定顺序
$$
\sigma=i_1 i_2 \ldots i_n
$$
并因此加入联盟序列
$$
\emptyset=S_0^\sigma \subset S_1^\sigma \cdots \subset S_k^\sigma \subset \cdots \subset S_n^\sigma=N
$$
${ }^{21} \partial^\sigma(v) \in \mathbb{R}^N$ 带组件
$$
\partial_{i_k}^\sigma(v)=v\left(S_k^\sigma\right)-v\left(S_{k-1}^\sigma\right) \quad(k=1, \ldots, n) .
$$
请注意 $v \mapsto \partial^\sigma(v)$ 本身就是一个线性值。我们可以通过选择顺序来随机化这个值 $\sigma$ 从集合 $\Sigma_N$ 的所有订单 $N$ 根据概率分布 $\pi$. 那么期望的边际向量
$$
\partial^\pi(v)=\sum_{\sigma \in \Sigma_N} \partial^\sigma(v) \pi_\sigma
$$
当然，也代表一个线性值 $\mathbb{R}^{\mathcal{N}}$ ，
前任。8.22。显示值 $v \mapsto \partial^\pi(v)$ 是线性且有效的。(提示：回想一下关于网络连接游戏的贪心算法的讨 论。)
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