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经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Transforming the Dependent Variable
When we introduced the concept of a regression function in Chapter 2, we defined it as the function that determines the mean of a dependent variable $y_t$ conditional on an information set $\Omega_t$. With this definition, we can always write
$$
y_t=x_t(\boldsymbol{\beta})+u_t
$$
and assert that $u_t$ has mean zero conditional on $\Omega_t$, provided that $x_t(\boldsymbol{\beta})$ has been specified correctly. But no matter how well $x_t(\boldsymbol{\beta})$ has been specified, we cannot assert that $u_t$ is i.i.d. or has any other desirable properties. In particular, there is no reason for it to be normally distributed, homoskedastic, or even symmetric. Yet we need $u_t$ to be homoskedastic if the NLS estimates $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ are to be efficient and inferences based on the usual least squares covariance matrix estimator are to be valid. ${ }^1$ We also need $u_t$ to be symmetric (and preferably normally distributed or close to it) if asymptotic results are to provide a good guide to the properties of finite-sample estimators. Moreover, if we wish to predict $y_t$ conditional on $\Omega_t$ and construct any sort of forecast interval, we must know (or at least be able to estimate) the distribution of $u_t$.
If we can find the mean of $y_t$ conditional on $\Omega_t$, then we can presumably just as well find the conditional mean of any smooth monotonic function of $y_t$, say $\tau\left(y_t\right)$. For example, $\tau\left(y_t\right)$ might be $\log y_t, y_t^{1 / 2}$, or $y_t^2$. If we write
$$
\tau\left(y_t\right)=E\left(\tau\left(y_t\right) \mid \Omega_t\right)+v_t
$$
for some nonlinear $\tau(\cdot)$, then the error term $v_t$ cannot be normally and independently distributed, or n.i.d., if $u_t$ is n.i.d. in (14.01). Conversely, if $v_t$ is n.i.d. in (14.02), $u_t$ cannot be n.i.d. in (14.01).
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|The Box-Cox Transformation
The Box-Cox transformation is by far the most commonly used nonlinear transformation in statistics and econometrics. It is defined as
$$
B(x, \lambda)= \begin{cases}\frac{x^\lambda-1}{\lambda} & \text { when } \lambda \neq 0 ; \ \log (x) & \text { when } \lambda=0,\end{cases}
$$
where the argument $x$ must be positive. By l’Hôpital’s Rule, $\log x$ is the limit of $\left(x^\lambda-1\right) / \lambda$ as $\lambda \rightarrow 0$. Figure $14.1$ shows the Box-Cox transformation for various values of $\lambda$. In practice, $\lambda$ generally ranges from somewhat below 0 to somewhat above 1. It can be shown that $B\left(x, \lambda^{\prime}\right) \geq B\left(x, \lambda^{\prime \prime}\right)$ for $\lambda^{\prime} \geq \lambda^{\prime \prime}$, and this inequality is evident in the figure. Thus the amount of curvature induced by the Box-Cox transformation increases as $\lambda$ gets farther from 1 in either direction.
There are three varieties of Box-Cox model. We will refer to (14.04) and (14.05) with $\tau(\cdot)$ given by the Box-Cox transformation as the simple Box-Cox model and the transform-both-sides Box-Cox model, respectively. We will refer to (14.06) with this choice of $\tau(\cdot)$ as the conventional Box-Cox model, because it is by far the most commonly used in econometrics.
One reason for the popularity of the Box-Cox transformation is that it incorporates both the possibility of no transformation at all (when $\lambda=1$ ) and the possibility of a logarithmic transformation (when $\lambda=0$ ). Provided that the regressors include a constant term, subjecting the dependent variable to a Box-Cox transformation with $\lambda=1$ is equivalent to not transforming it at all.
计量经济学代考
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Transforming the Dependent Variable
当我们在第 2 章介绍回归函数的概念时，我们将其定义为确定因变量均值的函数 $y_t$ 以信息集为条件 $\Omega_t$. 有了这个定义, 我们总是可以写
$$
y_t=x_t(\boldsymbol{\beta})+u_t
$$
并断言 $u_t$ 均值为雴，条件是 $\Omega_t$ ，前提是 $x_t(\boldsymbol{\beta})$ 已正确指定。但无论多好 $x_t(\boldsymbol{\beta})$ 已指定，我们不能断言 $u_t$ 是 iid 或具有任何其他理想的風性。特别是，它没有理由是正态分布的、同方差的，甚至是对称的。然而我 们需要 $u_t$ 如果 NLS 估计是同方差的 $\hat{\beta}$ 是有效的，并且基于通常的最小二乘协方差矩阵估计器的推论是有 效的。 ${ }^1$ 我们还需要 $u_t$ 如果渐近结果要为有限样本估计量的性质提供良好的指导，则必须是对称的（最好 是正态分布或接近它) 。此外，如果我们想预测 $y_t$ 有条件的 $\Omega_t$ 并构造任何类型的预测区间，我们必须知 道 (或至少能够估计) $u_t$.
如果我们能找到平均值 $y_t$ 有条件的 $\Omega_t$ ，那么我们大概也可以找到任何平滑单调函数的条件均值 $y_t$ ，说 $\tau\left(y_t\right)$. 例如， $\tau\left(y_t\right)$ 可能 $\log y_t, y_t^{1 / 2}$ ，或者 $y_t^2$. 如果我们写
$$
\tau\left(y_t\right)=E\left(\tau\left(y_t\right) \mid \Omega_t\right)+v_t
$$
对于一些非线性 $\tau(\cdot)$ ，那么误差项 $v_t$ 不能正态且独立分布，或 nid，如果 $u_t$ 于 (14.01) 结束。相反，如果 $v_t$ 于 (14.02) 结束， $u_t$ 不能在 (14.01) 中取消。
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|The Box-Cox Transformation
Box-Cox 变换是迄今为止统计和计量经济学中最常用的非线性变换。它被定义为
论据在哪里 $x$ 必须是积极的。根据 I’Hôpital 的规则， $\log x$ 是极限 $\left(x^\lambda-1\right) / \lambda$ 作为 $\lambda \rightarrow 0$. 数字 14 .1显示 不同值的 Box-Cox 变换 $\lambda$. 在实践中， $\lambda$ 通営范围从略低于 0 到略高于 1。可以证明，
$B\left(x, \lambda^{\prime}\right) \geq B\left(x, \lambda^{\prime \prime}\right)$ 为了 $\lambda^{\prime} \geq \lambda^{\prime \prime}$ ，并且这种不等式在图中很明显。因此，由 Box-Cox 变换引起的曲 率量增加为 $\lambda$ 在任一方向上都离 1 越来越远。
Box-Cox模型共有三种。我们将参考 (14.04) 和 (14.05) $\tau(\cdot)$ 由 Box-Cox 变换分别给出为简单 Box-Cox 模 型和变换两侧 Box-Cox 模型。我们将选择 (14.06) $\tau(\cdot)$ 与传统的 Box-Cox 模型一样，因为它是迄今为 止计量经济学中最常用的模型。
Box-Cox 变换流行的一个原因是它结合了完全没有变换的可能性 (当 $\lambda=1$ ) 和对数变换的可能性 (当 $\lambda=0$ ) 。假设回归量包括一个常数项，使因变量经受 Box-Cox 变换 $\lambda=1$ 相当于根本不改造。
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