经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|BEA472

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经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Alternative Covariance Matrix Estimators

This expression cannot even be expressed as a function of $\hat{\tau}$ alone. To obtain an expansion of the test statistic that makes use of it, we must make use of the property of the normal distribution which tells us that $E\left(y_t^4\right)=3 \sigma^4$, or, in terms of $\tau, 3 e^{4 \tau} \cdot{ }^4$ Using this property, we can invoke a law of large numbers and conclude that the OPG information matrix estimator is indeed equal to $2+o(1)$ at $\tau=0$. Thus the third variant of the LM test statistic is
$$
L M_3=\frac{n^2\left(e^{2 \hat{\tau}}-1\right)^2}{\sum_{t=1}^n\left(y_t^2-1\right)^2}=2 n \hat{\tau}^2+o(1) .
$$
Once again, the leading term is $2 n \hat{\tau}^2$, but the form of $L M_3$ is otherwise quite different from that of $L M_1$ or $L M_2$.

Just as there are various forms of the LM test, so are there various forms of the Wald test. Any one of these may be formed by combining the unrestricted estimate $\hat{\tau}$ with some estimate of the information matrix, which in this case is actually a scalar. The simplest choice is just the true information matrix, that is, 2 . With this we obtain
$$
W_1=2 n \hat{\tau}^2 .
$$
It is easy to see that $W_2$, which uses the empirical Hessian, is identical to $W_1$, because (13.55) evaluated at $\tau=\hat{\tau}$ is just $-2 n$. On the other hand, use of the OPG estimator yields
$$
W_3=\hat{\tau}^2 \sum_{t=1}^n\left(y_t^2 e^{-2 \bar{\tau}}-1\right)^2,
$$
which is quite different from $W_1$ and $W_2$.
All of the above test statistics were based on $\tau$ as the single parameter of the model, but we could just as well use $\sigma$ or $\sigma^2$ as the model parameter. Ideally, we would like test statistics to be invariant to such reparametrizations. The LR statistic is always invariant, since $\hat{\ell}$ and $\tilde{\ell}$ do not change when the model is reparametrized. But all forms of the Wald statistic, and some forms of the LM statistic, are in general not invariant, as we now illustrate.

经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Classical Test Statistics and Reparametrization

The idea of a reparametrization of a parametrized model was discussed at length in Section 8.3. We saw there that one of the properties of maximum likelihood estimation is its invariance under reparametrizations. Since the classical tests are undertaken in the context of maximum likelihood estimation, it might be expected, or at least hoped, that the classical test statistics would likewise be parametrization invariant. That is true for the LR statistic, since, as was shown in Chapter 8, the value of a maximized loglikelihood function is invariant to reparametrization. But the results of the last section have shown that it cannot be true in general for the other two classical tests. In this section, we discuss the effects of reparametrization on the classical test statistics in more detail. In particular, we endeavor to determine what ingredients of the LM and Wald tests, and what ingredients of various information matrix estimators, are or are not responsible for the parametrization dependence of so many of the possible forms of the classical tests. We believe that these are important topics. However, the discussion is necessarily quite detailed, and some readers may wish to skip this section on a first reading.
First of all, we must make it clear that when we speak of invariance we mean different things when we are discussing different quantities. For example, if a model is reparametrized by a mapping $\boldsymbol{\eta}: \Theta \rightarrow \Phi$, where $\boldsymbol{\theta}$ and $\phi$ denote the parameter vectors under the two parametrizations, then by the invariance of the MLE under reparametrization it is certainly not meant that $\hat{\boldsymbol{\theta}}=\hat{\boldsymbol{\phi}}$, but rather that
$$
\hat{\boldsymbol{\phi}}=\boldsymbol{\eta}(\hat{\boldsymbol{\theta}}) .
$$
The notation here was used previously in Chapter 8, around equation (8.23), and will be used again below. We must distinguish between quantities expressed in terms of the $k$-vector of parameters $\boldsymbol{\theta}$ and quantities expressed in terms of the $k$-vector of parameters $\phi$. As in Chapter 8 , we will use primes to denote quantities expressed in terms of $\phi$.

For the maximized loglikelihood function, invariance means simply that
$$
\ell(\hat{\boldsymbol{\theta}})=\ell^{\prime}(\hat{\boldsymbol{\phi}}) .
$$
Thus, when we speak of parameter estimates being invariant under reparametrization, we mean that (13.59) holds, whereas when we speak of maximized loglikelihood functions, or test statistics, we mean that the actual numerical value is unchanged when calculated using different parametrizations.

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计量经济学代考

经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Alternative Covariance Matrix Estimators

这个表达式甚至不能表示为 $\hat{\tau}$ 独自的。为了获得利用它的检验统计量的扩展,我们必须利用正态分布的 性质,它告诉我们 $E\left(y_t^4\right)=3 \sigma^4$ ,或者,根据 $\tau, 3 e^{4 \tau},{ }^4$ 使用这个性质,我们可以调用大数定律并得出 结论 OPG 信息矩阵估计器确实等于 $2+o(1)$ 在 $\tau=0$. 因此,LM 检验统计量的第三个变体是
$$
L M_3=\frac{n^2\left(e^{2 \hat{\tau}}-1\right)^2}{\sum_{t=1}^n\left(y_t^2-1\right)^2}=2 n \hat{\tau}^2+o(1) .
$$
再次,主导词是 $2 n \hat{\tau}^2$ ,但形式为 $L M_3$ 在其他方面与 $L M_1$ 或者 $L M_2$.
正如 LM 测试有多种形式一样,Wald 测试也有多种形式。这些中的任何一个都可以通过组合不受限制的 估计来形成呤信息矩阵进行一些估计,在这种情况下,它实际上是一个标量。最简单的选择就是真正 的信息矩阵,即 2 。有了这个我们得到
$$
W_1=2 n \hat{\tau}^2 .
$$
很容易看出 $W_2$ ,它使用经验 Hessian,与 $W_1$ ,因为 (13.55) 在 $\tau=\hat{\tau}$ 只是 $-2 n$. 另一方面,使用 OPG 估 计器产生
$$
W_3=\hat{\tau}^2 \sum_{t=1}^n\left(y_t^2 e^{-2 \bar{\tau}}-1\right)^2,
$$
这与 $W_1$ 和 $W_2$.
以上所有测试统计数据均基于 $\tau$ 作为模型的单个参数,但我们也可以使用 $\sigma$ 或者 $\sigma^2$ 作为模型参数。理想情 况下,我们希望测试统计数据对这种重新参数化保持不变。 $L R$ 统计量总是不变的,因为 $\hat{\ell}$ 和 $\tilde{\ell}$ 重新参数 化模型时不要更改。但是,正如我们现在说明的那样,所有形式的 Wald 统计量以及某些形式的 LM 统 计量通常都不是不变的。

经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Classical Test Statistics and Reparametrization

第 $8.3$ 节详细讨论了参数化模型的重新参数化的想法。我们在那里看到最大似然估计的属性之一是它在 重新参数化下的不变性。由于经典测试是在最大似然估计的背景下进行的,因此可以预期或至少苃望经 典测试統计量同样是参数化不变的。这对于 $L R$ 统计量来说是正确的,因为如第 8 章所示,最大化对数 似然函数的值对于重新参数化是不变的。但是上一节的结果表明,对于其他两个经典测试来说,一般情 况下它不可能是正确的。在本节中,我们将更详细地讨论重新参数化对经典测试统计的影响。尤其是, 我们努力确定 LM 和 Wald 检验的哪些成分,以及各种信息矩阵估计量的哪些成分,对许多可能的经典 检验形式的参数化依赖性负责或不负责。我们相信这些都是重要的话题。然而,讨论必然非常详细, 些读者可能希望在初读时跳过这一部分。
首先,我们必须明确,当我们谈论不变性时,当我们讨论不同的量时,我们的意思是不同的。例如,如 果模型通过映射重新参数化 $\eta: \Theta \rightarrow \Phi$ ,在哪里 $\theta$ 和 $\phi$ 表示两个参数化下的参数向量,那么重新参数化 下 $M L E$ 的不变性当然不意味着 $\hat{\theta}=\hat{\phi}$, 而是
$$
\hat{\boldsymbol{\phi}}=\boldsymbol{\eta}(\hat{\boldsymbol{\theta}}) .
$$
这里的符号之前在第 8 章中使用过,围绕方程 (8.23),并将在下面再次使用。我们必须区分用 $k$-参数 向量 $\theta$ 和数量表示为 $k$-参数向量 $\phi$. 与第 8 章一样,我们将使用嫊数来表示用以下形式表示的量 $\phi$.
对于最大化对数似然函数,不变性意味着
$$
\ell(\hat{\boldsymbol{\theta}})=\ell^{\prime}(\hat{\boldsymbol{\phi}}) .
$$
因此,当我们谈到参数估计在重新参数化下不变时,我们的意思是(13.59) 成立,而当我们谈到最大化 对数似然函数或检验统计时,我们的意思是当使用不同的参数化计算时实际数值没有变化。

经济代写|博弈论代写Game Theory代考

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