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计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Gaussian Distribution

The univariate Gaussian distribution (a.k.a. the normal distribution) is often used to describe a continuous random variable $X$ that can take any real value in $\mathbb{R}$. The general form of a Gaussian distribution is
$$
\mathcal{N}\left(x \mid \mu, \sigma^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}},
$$
where $\mu$ and $\sigma^2$ are two parameters. We can summarize some key properties for the univariate Gaussian distribution as follows:

• Parameters: $\mu \in \mathbb{R}$ and $\sigma^2>0$.
• Support: The domain of the random variable is $x \in \mathbb{R}$.
• Mean and variance:
  $$
  \mathbb{E}[X]=\mu \text { and } \operatorname{var}(X)=\sigma^2 .
  $$
  The sum-to-1 constraint:
  $$
  \int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{N}(x \mid \mu, \sigma) d x=1 .
  $$
  The Gaussian distribution is the well-known unimodal bell-shaped curve. As shown in Figure 2.10, the first parameter $\mu$ equals to the mean, indicating the center of the distribution, whereas the second parameters $\sigma$ equals to the standard deviation, indicating the spread of the distribution.

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Multivariate Gaussian Distribution

The multivariate Gaussian distribution extends the univariate Gaussian distribution to represent a joint distribution of multiple continuous random variables $\left{X_1, X_2, \cdots, X_n\right}$, each of which can take any real value in $\mathbb{R}$. If we arrange these random variables as an $n$-dimensional random vector, the multivariate Gaussian distribution takes the following compact form:
$$
\mathcal{N}(\mathbf{x} \mid \mu, \boldsymbol{\Sigma})=\frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^n|\mathbf{\Sigma}|}} e^{-\frac{(\mathbf{x}-\mu)^T \mathbf{\Sigma}^{-1}(x-\mu)}{2}},
$$
where the vector $\mu \in \mathbb{R}^n$ and the symmetric matrix $\boldsymbol{\Sigma} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ denote two parameters of the distribution. Note that the exponent in the multivariate Gaussian distribution is computed as follows:
$$
\left[(\mathbf{x}-\mu)^{\top}\right]{1 \times d}\left[\mathbf{\Sigma}^{-1}\right]{d \times d}[\mathbf{x}-\mu]{d \times 1}=[\cdot]{1 \times 1} .
$$
We can summarize some key properties for the multivariate Gaussian distribution as follows:

• Parameters: $\mu \in \mathbb{R}^n ; \Sigma \in \mathbb{R}^{n \times n}>0$ is symmetric, positive definite, and invertible.
• Support: The domain of all random variables: $x \in \mathbb{R}^n$.
• Mean vector and covariance matrix:
  $$
  \mathbb{E}[\mathbf{x}]=\mu \text { and } \operatorname{cov}(\mathbf{x}, \mathbf{x})=\Sigma \text {. }
  $$
  Therefore, the first parameter $\boldsymbol{\mu}$ is called the mean vector, and the second parameter $\boldsymbol{\Sigma}$ is called the covariance matrix. The inverse covariance matrix $\Sigma^{-1}$ is often called the precision matrix.
• The sum-to-1 constraint:
  $$
  \int \mathcal{N}(\mathbf{x} \mid \boldsymbol{\mu}, \mathbf{\Sigma}) d \mathbf{x}=1
  $$
• Any marginal distribution or conditional distribution of these $n$ random variables is also Gaussian. (See Exercise Q2.8.)

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计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Gaussian Distribution

单变量高斯分布 (又称正态分布) 通常用于描述连续随机变量 $X$ 可以采取任何实际价值 $\mathbb{R}$. 高斯分布的一 般形式是
$$
\mathcal{N}\left(x \mid \mu, \sigma^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}},
$$
在哪里 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 是两个参数。我们可以将单变量高斯分布的一些关键属性总结如下:

• 参数: $\mu \in \mathbb{R}$ 和 $\sigma^2>0$.
• 支持: 随机变量的域是 $x \in \mathbb{R}$.
• 均值和方差:
  $$
  \mathbb{E}[X]=\mu \text { and } \operatorname{var}(X)=\sigma^2 .
  $$
  sum-to-1 约束:
  $$
  \int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{N}(x \mid \mu, \sigma) d x=1
  $$
  高斯分布是著名的单峰钟形曲线。如图2.10所示，第一个参数 $\mu$ 等于均值，表示分布的中心，而第二 个参数 $\sigma$ 等于标准差，表示分布的分布。

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Multivariate Gaussian Distribution

多元高斯分布扩展了单变量高斯分布来表示多个连续随机变量的联合分布 Yleft{X_1，X_2, \odots, X_n|right}. 每个都可以取任何实际值 $\mathbb{R}$. 如果我们将这些随机变量排列为 $n$ 维随机向量，多元高斯分布采用以下紧凑 形式:
$$
\mathcal{N}(\mathbf{x} \mid \mu, \mathbf{\Sigma})=\frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^n|\mathbf{\Sigma}|}} e^{-\frac{(x-\mu)^T \Sigma^{-1}(x-\mu)}{2}}
$$
向量在哪里 $\mu \in \mathbb{R}^n$ 和对称矩阵 $\boldsymbol{\Sigma} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 表示分布的两个参数。请注意，多元高斯分布中的指数计算如 下:
$$
\left[(\mathbf{x}-\mu)^{\top}\right] 1 \times d\left[\mathbf{\Sigma}^{-1}\right] d \times d[\mathbf{x}-\mu] d \times 1=[\cdot] 1 \times 1 .
$$
我们可以总结多元高斯分布的一些关键属性，如下所示:

• 参数: $\mu \in \mathbb{R}^n ; \Sigma \in \mathbb{R}^{n \times n}>0$ 是对称的、正定的、可逆的。
• 支持: 所有随机变量的域: $x \in \mathbb{R}^n$.
• 均值向量和协方差矩阵:
  $$
  \mathbb{E}[\mathbf{x}]=\mu \text { and } \operatorname{cov}(\mathbf{x}, \mathbf{x})=\Sigma .
  $$
  因此，第一个参数 $\mu$ 称为均值向量，第二个参数 $\boldsymbol{\Sigma}$ 称为协方差矩阵。逆协方差矩阵 $\Sigma^{-1}$ 通常称为精度 矩阵。
• sum-to-1 约束:
  $$
  \int \mathcal{N}(\mathbf{x} \mid \boldsymbol{\mu}, \mathbf{\Sigma}) d \mathbf{x}=1
  $$
• 这些的任何边际分布或条件分布 $n$ 随机变量也是高斯的。（见练习 Q2.8。)

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