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计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Transformation of Random Variables

Assume we have a set of $n$ continuous random variables, denoted as $\left{X_1, X_2, \cdots, X_n\right}$. If we arrange their values as a vector $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$, we can represent their joint distribution (p.d.f.) as $p(\mathbf{x})$. We can apply some transformations to convert them into another set of $n$ continuous random variables as follows:
$$
\begin{aligned}
Y_1 &=f_1\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right) \
Y_2 &=f_2\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right) \
& \vdots \
Y_n &=f_n\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)
\end{aligned}
$$
We similarly arrange the values of the new random variables $\left{Y_1, Y_2, \cdots, Y_n\right}$ as another vector $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$, and we further represent the transformations as a single vector-valued and multivariate function:
$$
\mathbf{y}=f(\mathbf{x}) \quad\left(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n\right) .
$$
If this function is continuously differentiable and invertible, we can represent the inverse function as $\mathbf{x}=f^{-1}(\mathbf{y})$. Under these conditions, we are able to conveniently derive the joint distribution for these new random variables, that is, $p(\mathbf{y})$.

We first need to define the so-called Jacobian matrix for these inverse transformations $\mathbf{x}=f^{-1}(\mathbf{y})$, as follows:
$$
\mathbf{y})=\left[\frac{\partial x_i}{\partial y_j}\right]_{n \times n}=\left[\begin{array}{cccc}
\frac{\partial x_1}{\partial y_1} & \frac{\partial x_1}{\partial y_2} & \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial y_n} \
\frac{\partial x_2}{\partial y_1} & \frac{\partial x_2}{\partial y_2} & \cdots & \frac{\partial x_2}{\partial y_n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
\frac{\partial x_n}{\partial y_1} & \frac{\partial x_n}{\partial y_2} & \cdots & \frac{\partial x_n}{\partial y_n}
\end{array}\right]
$$
According to Bertsekas [21], the joint distribution of the new random variables can be derived as
$$
p(\mathbf{y})=|\mathbf{J}(\mathbf{y})| p(\mathbf{x})=|\mathbf{J}(\mathbf{y})| p\left(f^{-1}(\mathbf{y})\right),
$$
where $|\mathbf{J}(\mathbf{y})|$ denotes the determinant of the Jacobian matrix.

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Information and Entropy

The first fundamental problem in information theory is how to quantitatively measure information. The most significant progress to address this issue is attributed to Shannon’s brilliant idea of using probabilities. The amount of information that a message delivers solely depends on the probability of observing this message rather than its real content or anything else. This treatment allows us to establish a general mathematical framework to handle information independent of application domains. According to Shannon, if the probability of observing an event $A$ is $\operatorname{Pr}(A)$, the amount of information delivered by this event $A$ is calculated as follows:
$$
I(A)=\log _2\left(\frac{1}{\operatorname{Pr}(A)}\right)=-\log _2(\operatorname{Pr}(A)) .
$$
When we use the binary logarithm $\log _2(\cdot)$, the unit of the calculated information is the bit. Shannon’s definition of information is intuitive and consistent with our daily experience. A small-probability event will surprise us because it contains more information, whereas a common event that happens every day is not telling us anything new.

Shannon’s idea can be extended to measure information for random variables. As we know, a random variable may take different values in different probabilities, and we can define the so-called entropy for a discrete random variable $X$ as the expectation of the information for it to take different values:
$$
H(X)=\mathbb{E}\left[-\log _2 \operatorname{Pr}(X=x)\right]=-\sum_x p(x) \log _2 p(x),
$$
where $p(x)$ is the p.m.f. of $X$. Intuitively speaking, the entropy $H(X)$ represents the amount of uncertainty associated with the random variable $X$, namely, the amount of information we need to fully resolve this random variable.

机器学习代考

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Transformation of Random Variables

假设我们有一组 $n$ 连续随机变量，表示为 Veft{X_1，X_2, \cdots, X_n\right}}. 如果我们将它们的值排列为向量 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ ，我们可以将它们的联合分布 (pdf) 表示为 $p(\mathbf{x})$. 我们可以应用一些转换将它们转换为另一组 $n$ 连续随机变量如下:
$$
Y_1=f_1\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right) Y_2 \quad=f_2\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right) \vdots Y_n \quad=f_n\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)
$$
表示为单个向量值和多元函数:
$$
\mathbf{y}=f(\mathbf{x}) \quad\left(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n\right)
$$
如果这个函数是连续可微和可逆的，我们可以将反函数表示为 $\mathbf{x}=f^{-1}(\mathbf{y})$. 在这些条件下，我们可以方 便地推导出这些新随机变量的联合分布，即 $p(\mathbf{y})$.
我们首先需要为这些逆变换定义所谓的雅可比矩阵 $\mathbf{x}=f^{-1}(\mathbf{y})$ ，如下:
根据 Bertsekas [21]，新随机变量的联合分布可以推导出为
$$
p(\mathbf{y})=|\mathbf{J}(\mathbf{y})| p(\mathbf{x})=|\mathbf{J}(\mathbf{y})| p\left(f^{-1}(\mathbf{y})\right),
$$
在哪里 $|\mathbf{J}(\mathbf{y})|$ 表示雅可比矩阵的行列式。

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Information and Entropy

信息论的第一个基本问题是如何定量地测量信息。解决这个问题的最重要进展归功于香农使用概率的绝 妙想法。消息传递的信息量仅取决于观察此消息的概率，而不是其真实内容或其他任何内容。这种处理 使我们能够建立一个通用的数学框架来处理独立于应用程序域的信息。根据香农的说法，如果观察到一 个事件的概率 $A$ 是 $\operatorname{Pr}(A)$ ，该事件传递的信息量 $A$ 计算如下:
$$
I(A)=\log _2\left(\frac{1}{\operatorname{Pr}(A)}\right)=-\log _2(\operatorname{Pr}(A))
$$
当我们使用二进制对数时 $\log _2(\cdot)$ ，计算信息的单位是比特。香农对信息的定义是直观的，与我们的日常 经验一致。小概率事件会让我们感到惊讶，因为它包含更多信息，而每天发生的常见事件并没有告诉我 们任何新信息。
香农的想法可以扩展到测量随机变量的信息。众所周知，一个随机变量可能在不同的概率下取不同的 值，我们可以定义一个离散随机变量的所谓樀 $X$ 作为信息对其取不同值的期望:
$$
H(X)=\mathbb{E}\left[-\log _2 \operatorname{Pr}(X=x)\right]=-\sum_x p(x) \log _2 p(x),
$$
在哪里 $p(x)$ 是 $\mathrm{pmf} X$. 直观地说，樀 $H(X)$ 表示与随机变量相关的不确定性数量 $X$ ，即我们完全解析这个 随机变量所需的信息量。

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