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统计代写|假设检验代写hypothesis testing代考|What is interval estimation

The sample data are usually used to estimate a population parameter either by a single point or an interval. The concept of point estimation and the concept of confidence interval are given first.

Suppose we would like to estimate the mean concentration of the $\mathrm{pH}$ value of surface water (population mean $\mu$ ), in this case we should select a number of sampling points and measure the $\mathrm{pH}$ value of the surface water at each point and then represent the data by a single value, $\bar{X}$ (sample mean), because the sample mean $(\bar{X})$ is the point estimate of the population mean $(\mu)$. This estimation is called point estimation.
How confident are we that the sample mean is close to the population mean? To answer this question lets us think of a range of values that we expect to include the true population mean. Thus, the mean concentration of $\mathrm{pH}$ of surface water could be any value within two values [the lower $(L)$ and upper $(U)$ limits], in this case, it can be said that we are confident that the mean value falls in the interval with a confidence level $(1-\alpha) 100 \%$ :
$$
L \leq \mu \leq U
$$
This estimation is called the interval estimate or confidence interval. Another important concept that is associated with confidence interval is called the confidence level; the confidence level, $(1-\alpha) 100 \%$, can be defined as the probability of all possible outcomes that the interval estimate will contain the true population parameter. The confidence level is usually selected to be $0.95$ or $0.99$, but may be another value.
We can interpret the confidence level as “we are confident (at confident level) that the population parameter falls in the interval $L \leq \mu \leq U$.”

Other names are given to the confidence level such as the confidence coefficient or degree of confidence.

We can build confidence intervals for population parameters using the general procedure with four steps.
Step 1: Use the sample data to compute the sample statistic
Step 2: Select the significance level $(\alpha)$ for the study and find the critical values
Step 3: Compute the confidence interval
Step 4: Interpret the results

统计代写|假设检验代写hypothesis testing代考|When the sample size is large

Consider a large random sample ( $n \geq 30)$ that is selected from a normally distributed population and $Y$ represents a random variable of interest. A confidence interval regarding the population mean of the variable of interest can be built using the sample data. The mathematical formula for computing the confidence interval for one sample mean is presented in Eq. (7.1).
$$
\bar{Y} \pm Z_{\frac{\alpha}{2}}\left[\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]
$$
The confidence interval can be written using another form:
$$
\bar{Y}-Z_{\frac{a}{2}}\left[\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] \leq \mu \leq \bar{Y}+Z_{\frac{\alpha}{2}}\left[\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]
$$
where
$\bar{Y}$ represents the sample mean;
$\mu$ represents the population mean;
$\sigma$ represents the population standard deviation;
$Z_{\frac{a}{2}}$ represents the $Z$ critical value;
$n$ represents the sample size;
$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ represents the standard error; and
$Z_{\frac{\alpha}{2}}\left[\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ represents the margin of error $(E)$.
Note:

  • When the sample size is large and the population standard deviation ( $\sigma$ ) is not provided, then we can use the sample standard deviation $(S)$;
  • The margin of error $(E)$ can be used to write the confidence interval $\bar{Y}-E \leq \mu \leq \bar{Y}+E$;
  • The lower one-tailed confidence interval is given in Eq. (7.2).
    $$
    \bar{Y}-Z_\alpha\left[\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] \leq \mu
    $$
    or it can be written as the interval $\left[\bar{Y}-Z_\alpha\left[\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right], \infty\right)$
统计代写|假设检验代写hypothesis testing代考|STAT101

假设检验代考

统计代写|假设检验代写hypothesis testing代考|What is interval estimation

样本数据通常用于通过单点或区间估计总体参数。首先给出点估计的概念和置信区间的概念。
假设我们想估计的平均浓度 $\mathrm{pH}$ 地表水值 (人口平均 $\mu$ ),在这种情况下,我们应该选择多个采样点并测量 $\mathrm{pH}$ 每个点的地表水的值,然后用单个值表示数据, $\bar{X}$ (样本均值),因为样本均值 $(\bar{X})$ 是总体均值的点 估计 $(\mu)$. 这种估计称为点估计。
我们对样本均值接近总体均值的信心有多大? 为了回答这个问题,让我们考虑一系列我们期望包含真实 总体均值的值。因此,平均浓度 $\mathrm{pH}$ 地表水的值可以是两个值之间的任何值 [较低的 $(L)$ 和上 $(U)$ 限制], 在这种情况下,可以说我们确信平均值落在具有置信水平的区间内 $(1-\alpha) 100 \%$ :
$$
L \leq \mu \leq U
$$
这种估计称为区间估计或置信区间。与置信区间相关的另一个重要概念称为置信水平。置信水平, $(1-\alpha) 100 \%$ ,可以定义为区间估计包含真实总体参数的所有可能结果的概率。置信水平通常选择为 $0.95$ 或者 $0.99$ ,但可能是另一个值。 我们可以将置信水平解释为“我们有信心 (在置信水平上) 总体参数落在区间内 $L \leq \mu \leq U$.”
其他名称被赋予置信水平,例如置信系数或置信度。
我们可以使用具有四个步骤的一般程序来建立总体参数的置信区间。
第 1 步: 使用样本数据计算样本统计量
第 2 步:选择显着性水平 $(\alpha)$ 进行研究并找到临界值
第 3 步:计算置信区间
第 4 步:解释结果

统计代写|假设检验代写hypothesis testing代考|When the sample size is large

考虑一个大的随机样本 $(n \geq 30)$ 是从一个正态分布的总体中选择的,并且 $Y$ 表示感兴趣的随机变量。 可以使用样本数据建立有关感兴趣变量的总体平均值的置信区间。计算一个样本均值的置信区间的数学 公式在方程式中给出。(7.1)。
$$
\bar{Y} \pm Z_{\frac{a}{2}}\left[\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]
$$
置信区间可以用另一种形式写成:
$$
\bar{Y}-Z_{\frac{a}{2}}\left[\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] \leq \mu \leq \bar{Y}+Z_{\frac{a}{2}}\left[\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]
$$
在哪里
$\bar{Y}$ 代表样本均值;
$\mu$ 代表总体平均值;
$\sigma$ 表示总体标准差;
$Z_{\frac{a}{2}}$ 代表 $Z$ 临界值;
$n$ 代表样本量;
$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 代表标准误; 和
$Z_{\frac{a}{2}}\left[\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ 表示误差范围 $(E)$.
笔记:

  • 当样本量很大且总体标准差 $(\sigma)$ 没有提供,那么我们可以使用样本标准差 $(S)$;
  • 误差幅度 $(E)$ 可以用来写置信区间 $\bar{Y}-E \leq \mu \leq \bar{Y}+E$;
  • 式中给出了较低的单尾置信区间。(7.2)。
    $$
    \bar{Y}-Z_\alpha\left[\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] \leq \mu
    $$
    或者可以写成区间 $\left[\bar{Y}-Z_\alpha\left[\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right], \infty\right)$
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