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数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|The root finding method

Solve $f(x)=0$ for $x$, when an explicit analytical solution is impossible. Sometimes, the solution of the problems sometime is “exact” in a fixed amount of time. The solution of other problems may have error tolerances, and our algorithms may have to iterate to compute them. Generally, the shortfall for the root finding system is its illogical termination of problems despite the sophistication of the algorithms and the duration at which convergence would be achieved at lower error tolerances. However, the advantages far outweigh the aforementioned disadvantages. In this chapter, three main root finding method will be discussed, i.e., Bisection, Secant, and Newton’s method. In practice, the duration of converge of these methods is in descending order, i.e., Newton’s method, Secant, and Bisection. By principle, the three methods, i.e., Bisection, Secant, and Newton’s method are defined in Eqs. (5.1) $-(5.3)$, respectively. Generally, a sequence $x_0, x_1, x_2, \ldots$ are constructed such that it converges to the root $x=r$.
$$
\begin{gathered}
x_{n+1}=x_{n-1}+\frac{x_n-x_{n-1}}{2} \
x_{n+1}=x_n-\frac{\left(x_n-x_{n-1}\right) f\left(x_n\right)}{f\left(x_n\right)-f\left(x_{n-1}\right)} \
x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f_{\left(x_n\right)}^{\prime}}
\end{gathered}
$$

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Euler method

Euler method is a common method for solving first-order numerical ordinary differential equations (ODEs) with a given initial value. It is also referred to as forward Euler method or simplest Runge-Kutta method (i.e., First-Order Runge-Kutta) and the simplest method for numerical integration of ordinary differential equations. The procedural steps to solving ODE via Euler method is prone to local error (error per step) which is proportional to the square of the step size.

The theory of the Euler’s method starts with the assumption that $y\left(x_1\right)$ denotes exact solution and $y_1$ the computed solution at $x_i=x_0+h$ such that
$$
y\left(x_1\right)=y\left(x_0+h\right)
$$
The solution can be derived from the Taylor’s series given as:
$$
y\left(x_0+h\right)=y\left(x_0\right)+h y^{\prime}\left(x_0\right)+\frac{h^2}{2} y^{\prime \prime}\left(x_0\right)+\frac{h^3}{3} y^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)+\ldots
$$
To apply the Taylor’s series here means that Eq. (6.4) will be truncated after second term
$$
y\left(x_1\right)=y\left(x_0\right)+h y^{\prime}\left(x_0\right)
$$
to give the Euler’s formula so that,
$$
y_1=y_0+h f\left(x_0, y_0\right)
$$
$f\left(x_0, y_0\right)$ is a known function and the values in the initial condition are also known numbers. Function is assumed to be continuous so that a unique solution to the initial value problem (IVP) will be obtained. The error in the formula is the third term of Eq. (6.4) i.e., $\frac{h^2}{2} y^{\prime \prime}(\xi)$ where $x_0 \leq \xi \leq x_1$.
When $x=x_{n+1}$, then the Euler’s formula becomes,
$$
y_{n+1}=y_n+h f\left(x_n, y_n\right)
$$
Hence, the error in the formula would be $\frac{h^2}{2} y^{\prime \prime}(\xi), x_n \leq \xi \leq x_{n+1}$. The error in the Euler’s method depends on the magnitude of the step size. Euler’s method uses the idea of local linearity or linear approximation; hence, the disadvantage of the Euler’s method is the tendency to sometimes fail or cumbersome to solve manually.
A typical application of Euler’s is presented below to solve the equation:
$$
\frac{d y}{d x}=\frac{y \ln y}{2 x}
$$
where the initial condition is $y(2)=e$.

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数值方法代考

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|The root finding method

解决 $f(x)=0$ 为了 $x$ ,当一个明确的分析解决方案是不可能的。有时,问题的解决方案有时是在固定的 时间内“精确”的。其他问题的解决方案可能具有容错性,我们的算法可能必须迭代来计算它们。一般来 说,求根系统的不足之处在于它不合逻辑地終止了问题,尽管算法很复杂,并且在较低的误差容限下可 以实现收敛的持续时间。但是,优点远大于上述缺点。本章将讨论三种主要的求根方法,即二分法、割 线法和牛顿法。在实践中,这些方法的收敛时间是按降序排列的,即牛顿法、正割法和二分法。原则 上,这三种方法,即二等分法,正割法,和牛顿的方法在方程式中定义。(5.1)-(5.3),分别。一般来 说,一个序列 $x_0, x_1, x_2, \ldots$. 被构造成收敛到根 $x=r$.
$$
x_{n+1}=x_{n-1}+\frac{x_n-x_{n-1}}{2} x_{n+1}=x_n-\frac{\left(x_n-x_{n-1}\right) f\left(x_n\right)}{f\left(x_n\right)-f\left(x_{n-1}\right)} x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f_{\left(x_n\right)}^{\prime}}
$$

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Euler method

欧拉法是求解具有给定初始值的一阶数值常微分方程 (ODE) 的常用方法。它也被称为正向欧拉法或最简 单的龙格-库塔法 (即一阶龙格-库塔法) 和最简单的常微分方程数值积分方法。通过 Euler 方法求解 ODE 的程序步骙容易产生与步长平方成正比的局部误差 (每步误差)。
欧拉方法的理论始于以下假设: $y\left(x_1\right)$ 表示精确解和 $y_1$ 计算的解决方案 $x_i=x_0+h$ 这样
$$
y\left(x_1\right)=y\left(x_0+h\right)
$$
解决方案可以从给出的泰勒级数得出:
$$
y\left(x_0+h\right)=y\left(x_0\right)+h y^{\prime}\left(x_0\right)+\frac{h^2}{2} y^{\prime \prime}\left(x_0\right)+\frac{h^3}{3} y^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)+\ldots
$$
在这里应用泰勒级数意味着方程。(6.4) 将在第二个任期后被截断
$$
y\left(x_1\right)=y\left(x_0\right)+h y^{\prime}\left(x_0\right)
$$
给出欧拉公式,使得,
$$
y_1=y_0+h f\left(x_0, y_0\right)
$$
$f\left(x_0, y_0\right)$ 是一个已知函数,初始条件下的值也是已知数。假设函数是连续的,因此将获得初始值问题 (IVP) 的唯一解。公式中的误差是等式的第三项。(6.4) 即, $\frac{h^2}{2} y^{\prime \prime}(\xi)$ 在哪里 $x_0 \leq \xi \leq x_1$. 什么时候 $x=x_{n+1}$ ,则欧拉公式变为,
$$
y_{n+1}=y_n+h f\left(x_n, y_n\right)
$$
因此,公式中的错误将是 $\frac{h^2}{2} y^{\prime \prime}(\xi), x_n \leq \xi \leq x_{n+1}$. Euler 方法中的误差取决于步长的大小。欧拉方法使 用局部线性或线性逼近的思想; 因此,欧拉方法的缺点是有时会失败或手动求解很麻烦。 下面介绍了欧拉的典型应用来求解方程:
$$
\frac{d y}{d x}=\frac{y \ln y}{2 x}
$$
其中初始条件是 $y(2)=e$.

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