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数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Spectral Properties
Proposition 4.2 Let $A$ be a square matrix of order $n$ over $\mathbb{K}$, let
$$
p(\lambda)=a_0+a_1 \lambda+\cdots+a_{n-1} \lambda^{n-1}+(-1)^n \lambda^n
$$
be the characteristic polynomial of $A$, and let $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ be the eigenvalues of A (possibly repeated). The following hold.
(i) $|A|=\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$.
(ii) $a_{n-1}=(-1)^{n-1} \operatorname{tr} A$.
(iii) $\operatorname{tr} A=\sum_{i=1}^n \lambda_i$
Proof (i) Let
$$
p(\lambda)=\left(\lambda_1-\lambda\right)\left(\lambda_2-\lambda\right) \cdots\left(\lambda_n-\lambda\right)
$$
be the characteristic polynomial of A (where the roots may not be all distinct).
Observing that
$$
p(0)=|A-0 I|=|A|
$$
and letting $\lambda=0$ in (4.4), we have
$$
|A|=\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n .
$$
(ii) This will be shown by induction. For $n=1$, the statement is clear. Suppose now that $n \geq 2$ and that the assertion holds for $n-1$. Let $A=\left[a_{i j}\right]$ be an $n \times n$ matrix and let $p(\lambda)=|A-\lambda I|$ be its characteristic polynomial. Hence, using the Laplace’s expansion along the first row, we have
$$
p(\lambda)=\left(a_{11}-\lambda I\right) \operatorname{det}\left[(A-\lambda I){11}\right]+\sum{j=2}^n a_{1 j} C_{1 j} .
$$
Recall that $\left[(A-\lambda I){11}\right]$ is the $n-1 \times n-1$ matrix obtained by deleting the first row and the first column of $A-\lambda I$. It then follows from the induction hypothesis that the coefficient corresponding to $\lambda^{n-1}$ is $$ a{11}(-1)^{n-1}-(-1)^{n-2} \operatorname{tr}\left[A_{11}\right]=(-1)^{n-1} \operatorname{tr} A .
$$
Assertion (iii) follows immediately from (4.4) and assertion (ii).
A useful fact to keep in mind is that, for an $n \times n$ matrix $A$ over $\mathbb{K}$ with characteristic polynomial
$$
p(\lambda)=\left(\lambda_1-\lambda\right)^{r_1}\left(\lambda_2-\lambda\right)^{r_2} \cdots\left(\lambda_k-\lambda\right)^{r_k},
$$
where $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k$ are all distinct, we have
$$
r_1+r_2+\cdots+r_k=n .
$$
Before the next proposition, we need to make a definition.
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Similarity and Diagonalisation
We begin here the discussion of similarity mentioned at the beginnig of this chapter.
Definition 37 Let $A$ and $B$ be real (resp., complex) $n \times n$ matrices. $B$ is said to be similar to $A$ if there exists an invertible matrix $S$ such that
$$
B=S^{-1} A S
$$
or, equivalently, if
$$
S B=A S .
$$
It is easy to see that $B$ is similar to $A$ if and only if $A$ is similar to $B$. Consequently, to simplify one says simply that $A$ and $B$ are similar matrices.
Theorem 4.2 Let $A$ and $B$ be $n \times n$ similar matrices.
(i) $|A|=|B|$.
(ii) $A$ is invertible if and only if $B$ is invertible.
(iii) The characteristic polynomial $p_A(\lambda)$ of $A$ coincides with the characteristic polynomial $p_B(\lambda)$ of $B$.
(iv) $\operatorname{tr} A=\operatorname{tr} B$
(v) $\sigma(A)=\sigma(B)$ and the corresponding algebraic multiplicities (respectively, geometric multiplicities) of each eigenvalue coincide.
(vi) $\operatorname{dim} N(A)=\operatorname{dim} N(B)$.
(vii) $\operatorname{rank} A=\operatorname{rank} B$.
Proof (i) Since $A$ and $B$ are similar, we have $|B|=\left|S^{-1} A S\right|$. Hence, by Propositon 2.3 and Corollary 2.1,
$$
|B|=\left|S^{-1}\right||A||S|=|A|\left|S^{-1}\right||S|=|A| .
$$
(ii) By (i), we know that $|A| \neq 0$ if and only if $|B| \neq 0$. Hence, $A$ is invertible if and only if $B$ is invertible.
(iii) We have
$$
p_B(\lambda)=|B-\lambda I|=\left|S^{-1} A S-\lambda I\right|=\left|S^{-1} A S-\lambda S^{-1} I S\right| .
$$
Hence
$$
p_B(\lambda)=\left|S^{-1}(A-\lambda I) S\right|=|A-\lambda I|=p_A(\lambda) .
$$
(iv) This is a direct consequence of (iii) and Proposition $4.2$ (ii).
线性代数代考
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Spectral Properties
命题 $4.2$ 让 $A$ 是一个有序的方阵 $n$ 超过 $\mathbb{K}$ ，让
$$
p(\lambda)=a_0+a_1 \lambda+\cdots+a_{n-1} \lambda^{n-1}+(-1)^n \lambda^n
$$
是的特征多项式 $A$ ，然后让 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ 是 $\mathrm{A}$ 的特征值 (可能重复)。以下举行。 (一世) $|A|=\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$.
$$
\text { (二) } a_{n-1}=(-1)^{n-1} \operatorname{tr} A \text {. }
$$
(三) $\operatorname{tr} A=\sum_{i=1}^n \lambda_i$
证明 (i) 让
$$
p(\lambda)=\left(\lambda_1-\lambda\right)\left(\lambda_2-\lambda\right) \cdots\left(\lambda_n-\lambda\right)
$$
是 A 的特征多项式 (其中的根可能并不完全不同)。
观察到
$$
p(0)=|A-0 I|=|A|
$$
并让 $\lambda=0$ 在 (4.4) 中，我们有
$$
|A|=\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n .
$$
(ii) 这将通过归纳来证明。为了 $n=1$ ，陈述很清楚。现在假设 $n \geq 2$ 并且该断言适用于 $n-1$. 让 $A=\left[a_{i j}\right]$ 豆 $n \times n$ 矩阵并让 $p(\lambda)=|A-\lambda I|$ 是它的特征多项式。因此，使用沿第一行的拉普拉斯展开 式，我们有
$$
p(\lambda)=\left(a_{11}-\lambda I\right) \operatorname{det}[(A-\lambda I) 11]+\sum j=2^n a_{1 j} C_{1 j} .
$$
回顾 $[(A-\lambda I) 11]$ 是个 $n-1 \times n-1$ 删除第一行第一列得到的矩阵 $A-\lambda I$. 然后从归纳假设得出，对 应于的系数 $\lambda^{n-1}$ 是
$$
a 11(-1)^{n-1}-(-1)^{n-2} \operatorname{tr}\left[A_{11}\right]=(-1)^{n-1} \operatorname{tr} A .
$$
断言 (iii) 紧接在 (4.4) 和断言 (ii) 之后。
要记住的一个有用的事实是，对于一个 $n \times n$ 矩阵 $A$ 超过 $\mathbb{K}$ 具有特征多项式
$$
p(\lambda)=\left(\lambda_1-\lambda\right)^{r_1}\left(\lambda_2-\lambda\right)^{r_2} \cdots\left(\lambda_k-\lambda\right)^{r_k},
$$
在哪里 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k$ 都是不同的，我们有
$$
r_1+r_2+\cdots+r_k=n .
$$
在下一个命题之前，我们需要做一个定义。
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Similarity and Diagonalisation
我们从这里开始讨论本章开头提到的相似性。
定义 37 让 $A$ 和 $B$ 是真实的 (分别，复杂的) $n \times n$ 矩阵。 $B$ 据说类似于 $A$ 如果存在可逆矩阵 $S$ 这样
$$
B=S^{-1} A S
$$
或者，等效地，如果
$$
S B=A S .
$$
很容易看出 $B$ 类似于 $A$ 当且仅当 $A$ 类似于 $B$. 因此，为了简化，简单地说 $A$ 和 $B$ 是相似的矩阵。 定理 $4.2$ 让 $A$ 和 $B$ 是 $n \times n$ 类似的矩阵。 (一世) $|A|=|B|$.
(二) $A$ 当且仅当是可逆的 $B$ 是可逆的。
(iii) 特征多项式 $p_A(\lambda)$ 的 $A$ 符合特征多项式 $p_B(\lambda)$ 的 $B$.
(四) $\operatorname{tr} A=\operatorname{tr} B$
(在) $\sigma(A)=\sigma(B)$ 并且每个特征值对应的代数重数 (分别为几何重数) 重合。
(六) $\operatorname{dim} N(A)=\operatorname{dim} N(B)$.
(七) $\operatorname{rank} A=\operatorname{rank} B$.
证明 (i) 由于 $A$ 和 $B$ 相似，我们有 $|B|=\left|S^{-1} A S\right|$. 因此，根据命题 $2.3$ 和推论 2.1，
$$
|B|=\left|S^{-1}\right||A||S|=|A|\left|S^{-1}\right||S|=|A| .
$$
(ii) 通过 (i)，我们知道 $|A| \neq 0$ 当且仅当 $|B| \neq 0$. 因此， $A$ 当且仅当是可逆的 $B$ 是可逆的。
(iii) 我们有
$$
p_B(\lambda)=|B-\lambda I|=\left|S^{-1} A S-\lambda I\right|=\left|S^{-1} A S-\lambda S^{-1} I S\right| .
$$
因此
$$
p_B(\lambda)=\left|S^{-1}(A-\lambda I) S\right|=|A-\lambda I|=p_A(\lambda) .
$$
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