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数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Linear Transformations
Definition 43 Let $U$ and $V$ be vector spaces over $\mathbb{K}$. A function $T: U \rightarrow V$ is called a linear transformation if, for all $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in U$ and $\alpha \in \mathbb{K}$,
$$
\begin{aligned}
T(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}) &=T(\boldsymbol{x})+T(\boldsymbol{y}), \
T(\alpha \boldsymbol{x}) &=\alpha T(\boldsymbol{x}) .
\end{aligned}
$$
In other words, a function $T: U \rightarrow V$ is a linear transformation if it is additive (5.1) and homogeneous (5.2). As usual, $U$ is the domain of $T$ and $V$ is its codomain.
Proposition 5.1 Let $U$ and $V$ be vector spaces over $\mathbb{K}$ and let $T: U \rightarrow V$ be a linear transformation. Then
$$
T\left(\mathbf{0}_U\right)=\mathbf{0}_V,
$$
where $\mathbf{0}_U$ is the zero vector in $U$ and $\mathbf{0}_V$ is the zero vector in $V$.
Proof Let $\boldsymbol{x}$ be a vector in U. Hence, by (5.1),
$$
T(\boldsymbol{x})=T\left(\boldsymbol{x}+\mathbf{0}_U\right)=T(\boldsymbol{x})+T\left(\mathbf{0}_U\right),
$$
from which follows that $T\left(\mathbf{0}_U\right)=\mathbf{0}_V$.
Example 5.1 Find which of the following functions are linear transformations.
a) $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ is a reflection relative to the $x$-axis.
b) $T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ is an orthogonal projection on the xy-plane.
c) $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ is a translation by the vector $\boldsymbol{u}=(1,0)$.
The function $T$ in a) is defined, for all $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2\right)$ in $\mathbb{R}^2$, by
$$
T\left(x_1, x_2\right)=\left(x_1,-x_2\right) .
$$
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Matrix Representations
Let $T: \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^k$ be a linear transformation and let $\mathcal{E}n=\left(e_1, e_2, \ldots, e_n\right)$ be the ordered standard basis of $\mathbb{K}^n$ and $\mathcal{E}_k$ the ordered standard basis of $\mathbb{K}^k$. Then, for $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$, we have $$ T(\boldsymbol{x})=T\left(x_1 \boldsymbol{e}_1+x_2 \boldsymbol{e}_2+\cdots+x_n \boldsymbol{e}_n\right)=x_1 T\left(\boldsymbol{e}_1\right)+x_2 T\left(\boldsymbol{e}_2\right)+\cdots+x_n T\left(\boldsymbol{e}_n\right) $$ Denoting by $[\boldsymbol{x}]$ the vector column version of a vector $\boldsymbol{x}$, Observe that, given a vector $\boldsymbol{u} \in \mathbb{R}^m$, we have that $[\boldsymbol{u}]=[\boldsymbol{u}]{\mathcal{E}m}$, where $[\boldsymbol{u}]{\mathcal{E}m}$ is the coordinate vector of $\boldsymbol{u}$ relative to the basis $\mathcal{E}_m$. Hence, we can now rewrite $(5.4)$ as $$ [T(\boldsymbol{x})]{\mathcal{E}k}=\underbrace{\left[\left[T\left(\boldsymbol{e}_1\right)\right]{\mathcal{E}k} \mid\left[\left[T\left(\boldsymbol{e}_2\right)\right]{\mathcal{E}k}|\ldots|\left[\ldots\left(\boldsymbol{e}_n\right)\right]{\mathcal{E}k}\right]\right.}{[T]{\mathcal{E}_k, \mathcal{E}_n}}[\boldsymbol{x}]{\mathcal{E}n} $$ That is, $$ [T(\boldsymbol{x})]{\mathcal{E}k}=[T]{\mathcal{E}k, \mathcal{E}_n}[\boldsymbol{x}]{\mathcal{E}n}, $$ where $[T]{\mathcal{E}_k, \mathcal{E}_n}$ is a $k \times n$ matrix called the matrix of $T$ relative to the standard bases of the domain $\mathbb{K}^n$ and codomain $\mathbb{K}^k$. In what follows this matrix might be denoted simply by $[T]$.
线性代数代考
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Linear Transformations
定义 43 让 $U$ 和 $V$ 是向量空间 $\mathbb{K}$. 一个函数 $T: U \rightarrow V$ 称为线性变换，如果，对于所有 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in U$ 和 $\alpha \in \mathbb{K}$
$$
T(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=T(\boldsymbol{x})+T(\boldsymbol{y}), T(\alpha \boldsymbol{x}) \quad=\alpha T(\boldsymbol{x}) .
$$
换句话说，一个函数 $T: U \rightarrow V$ 如果它是加法 (5.1) 和齐次 (5.2) 的线性变换。照常， $U$ 是域 $T$ 和 $V$ 是它 的共域。
命题 $5.1$ 让 $U$ 和 $V$ 是向量空间 $\mathbb{K}$ 然后让 $T: U \rightarrow V$ 是一个线性变换。然后
$$
T\left(\mathbf{0}_U\right)=\mathbf{0}_V,
$$
在哪里 $0_U$ 是零向量 $U$ 和 $0_V$ 是雴向量 $V$.
证明让 $x$ 是 U中的一个向量。因此，由 (5.1)，
$$
T(\boldsymbol{x})=T\left(\boldsymbol{x}+\mathbf{0}_U\right)=T(\boldsymbol{x})+T\left(\mathbf{0}_U\right),
$$
由此得出 $T\left(0_U\right)=\mathbf{0}_V$.
例 $5.1$ 找出下列哪些函数是线性变换。
一个) $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ 是相对于 $x$-轴。
b) $T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ 是 xy 平面上的正交投影。
C) $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ 是向量的平移 $\boldsymbol{u}=(1,0)$.
功能 $T$ 在 $\mathrm{a})$ 中定义，对于所有 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2\right)$ 在 $\mathbb{R}^2$ ， 经过
$$
T\left(x_1, x_2\right)=\left(x_1,-x_2\right) .
$$
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Matrix Representations
让 $T: \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^k$ 是一个线性变换并且让 $\mathcal{E} n=\left(e_1, e_2, \ldots, e_n\right)$ 是有序的标准基础 $\mathbb{K}^n$ 和 $\mathcal{E}_k$ 的有序标准基 础 $\mathbb{K}^k$. 那么，对于 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ ，我们有
$$
T(\boldsymbol{x})=T\left(x_1 \boldsymbol{e}_1+x_2 \boldsymbol{e}_2+\cdots+x_n \boldsymbol{e}_n\right)=x_1 T\left(\boldsymbol{e}_1\right)+x_2 T\left(\boldsymbol{e}_2\right)+\cdots+x_n T\left(\boldsymbol{e}_n\right)
$$
表示 $[\boldsymbol{x}]$ 向量的向量列版本 $\boldsymbol{x}$, 观察到，给定一个向量 $\boldsymbol{u} \in \mathbb{R}^m$ ，我们有 $[\boldsymbol{u}]=[\boldsymbol{u}] \mathcal{E} m$ ，在哪里 $[\boldsymbol{u}] \mathcal{E} m$ 是坐 标向量 $\boldsymbol{u}$ 相对于基础 $\mathcal{E}_m$. 因此，我们现在可以重写 $(5.4)$ 作为
$$
[T(\boldsymbol{x})] \mathcal{E} k=\underbrace{\left[\left[T\left(\boldsymbol{e}_1\right)\right] \mathcal{E} k \mid\left[\left[T\left(\boldsymbol{e}_2\right)\right] \mathcal{E} k|\ldots|\left[\ldots\left(\boldsymbol{e}_n\right)\right] \mathcal{E} k\right]\right.}[T] \mathcal{E}_k, \mathcal{E}_n[\boldsymbol{x}] \mathcal{E} n
$$
那是，
$$
[T(\boldsymbol{x})] \mathcal{E} k=[T] \mathcal{E} k, \mathcal{E}_n[\boldsymbol{x}] \mathcal{E} n,
$$
在哪里 $[T] \mathcal{E}_k, \mathcal{E}_n$ 是一个 $k \times n$ 矩阵称为矩阵 $T$ 相对于领域的标准基础 $\mathbb{K}^n$ 和共域 $\mathbb{K}^k$. 在下文中，这个矩阵 可以简单地表示为 $[T]$.
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