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数学代写|金融数学代写Intro to Mathematics of Finance代考|Unknown Time
Problems involving an unknown value of $t$ often lead to equations which can only be solved approximately using numerical methods. The TI BA II Plus, Excel, and MAPLE all have approximation algorithms. Of the three, Excel seems to be the least accurate. While the differences are slight, for large amounts of money, Excel might lead to significant errors.
A common problem concerns replacing a sequence of payments (called an annuity – to be discussed in greater detail later) with a single payment equal to the sum of the numerical values of the other payments. The problem determine the time at which the single payment is to be made in order that the sequence of payments is equal in value to the single payment.
As our first example, suppose that payments in the amounts $p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n$ are made at times $t_1, t_2, t_3, \ldots, t_n$. Suppose further that interest is compounded at an effective rate of $i$ per period. We are to find a time, $t$, at which a single payment of $p_1+p_2+p_3+\cdots+p_n=\sum_{k=1}^n p_k$ has the same value as this annuity. We compute our equation of value at the inception of the transaction resulting in the following equation of value. The left side of Equation $3.4$ is the value of the single payment at time $t=0$, while the right side is the value of the sequence of payments at this same time
$$
\left(\sum_{k=1}^n p_k\right) v^t=\sum_{k=1}^n p_k v^{t_k}
$$
Solving this equation for $t$ yields the following equation:
$$
t=\frac{\ln \left(\frac{\sum_{k=1}^n \mathbf{p}k v^{t_k}}{\left(\sum{k=1}^n p_k\right)}\right)}{\ln (v)}
$$
Example 3.5 Suppose that the rate of interest is a nominal $5.04 \%$ annually and that interest is compounded monthly. Find the time at which a single payment of $\$ 1000$ is equivalent in value to the following sequence of payments displayed in Table $3.8$.
数学代写|金融数学代写Intro to Mathematics of Finance代考|Doubling Time
We are often interested in determining how long it will take a fixed deposit to increase in value by a given amount. In the case of compound interest the time required for a deposit to increase by any given factor is independent of the amount which is currently on deposit. The amount of time a given amount takes to double in value is known as the doubling time.
We begin by deriving a formula for the doubling time as a function of the rate of interest in the case that interest is compounded.
We have $A(t)=P_0 a(t)=P_0(1+i)^t$. Starting with any initial time, $t_0$ we want to find $t$ so that $A(t)=2 A\left(t_0\right)$. This gives us
$$
\begin{aligned}
P_0 a(t) &=2 P_0 a\left(t_0\right) \
P_0(1+i)^t &=2 P_0(1+i)^{t_0} \
(1+i)^t &=2(1+i)^{t_0}
\end{aligned}
$$
Taking logarithms of both sides we obtain
$$
\begin{aligned}
t \ln (1+i) &=\ln (2)+t_0 \ln (1+i) \
\left(t-t_0\right) &=\frac{\ln (2)}{\ln (1+i)}
\end{aligned}
$$
An easy generalization of this gives the following formula for the time required for an investment to increase by a factor of $k$ at a given rate of interest $i$ is given by
$$
\Delta t=\frac{\ln (k)}{\ln (1+i)}
$$
We can use Equation $2.17$ to obtain this same solution. We have
$$
\begin{aligned}
&A\left(t_1\right)=k A\left(t_0\right)=\frac{a\left(t_1\right)}{a\left(t_0\right)} A\left(t_0\right) \
&\frac{a\left(t_1\right)}{a\left(t_0\right)}=k=\frac{(1+i)^{t_1}}{(1+i)^{t_0}}=(1+i)^{t_1-t_0} \
&\ln (k)=\left(t_1-t_0\right) \ln (1+i)
\end{aligned}
$$
We then solve for $\left(t_1-t_0\right)$ as before.
金融数学代考
数学代写|金融数学代写Intro to Mathematics of Finance代考|Unknown Time
涉及末知值的问题 $t$ 通常会导致只能使用数值方法近似求解的方程。 TI BA II Plus、Excel 和 MAPLE 都具有 近似算法。在这三个中，Excel 似乎是最不准确的。虽然差异很小，但对于大量资金，Excel 可能会导致 重大错误。
一个常见的问题涉及将一系列支付 (称为年金 – 稍后将更详细地讨论) 替换为等于其他支付的数值总和 的单一支付。该问题确定进行单次付款的时间，以使付款顺序与单次付款的价值相等。
作为我们的第一个示例，假设支付金额为 $p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n$ 有时制作 $t_1, t_2, t_3, \ldots, t_n$. 进一步假设利息 以有效利率复利 $i$ 每个时期。我们要找时间， $t$ ，其中单次支付 $p_1+p_2+p_3+\cdots+p_n=\sum_{k=1}^n p_k$ 与 此年金具有相同的价值。我们在交易开始时计算我们的价值等式，得到以下价值等式。方程的左边 $3.4$ 是 当时单笔付款的价值 $t=0$ ，而右边是同时支付序列的值
$$
\left(\sum_{k=1}^n p_k\right) v^t=\sum_{k=1}^n p_k v^{t_k}
$$
求解这个方程 $t$ 产生以下等式:
$$
t=\frac{\ln \left(\frac{\sum_{k=1}^n \mathrm{p} k v^{+k}}{\left(\sum k=1^n p_k\right)}\right)}{\ln (v)}
$$
例 $3.5$ 假设利率是名义利率 $5.04 \%$ 每年，并且该利息每月复利。查找单次付款的时间 $\$ 1000$ 价值等同于 表中显示的以下付款顺序 $3.8$.
数学代写|金融数学代写Intro to Mathematics of Finance代考|Doubling Time
我们通常对确定定期存款需要多长时间才能使价值增加给定数量感兴趣。在复利的情况下，存款增加任 何给定因素所需的时间与当前存款的金额无关。给定数量的价值稩倍所需的时间称为翥倍时间。
我们首先推导在复利情况下作为利率函数的倍增时间的公式。
我们有 $A(t)=P_0 a(t)=P_0(1+i)^t$. 从任何初始时间开始， $t_0$ 我们想找到 $t$ 以便 $A(t)=2 A\left(t_0\right)$. 这给 了我们
$$
P_0 a(t)=2 P_0 a\left(t_0\right) P_0(1+i)^t \quad=2 P_0(1+i)^{t_0}(1+i)^t=2(1+i)^{t_0}
$$
两边取对数我们得到
$$
t \ln (1+i)=\ln (2)+t_0 \ln (1+i)\left(t-t_0\right) \quad=\frac{\ln (2)}{\ln (1+i)}
$$
对此的简单概括给出了以下公式，即投咯增加 1 倍所需的时间 $k$ 在给定的利率 $i$ 是 (谁) 给的
$$
\Delta t=\frac{\ln (k)}{\ln (1+i)}
$$
我们可以使用方程 $2.17$ 以获得相同的解决方案。我们有
$$
A\left(t_1\right)=k A\left(t_0\right)=\frac{a\left(t_1\right)}{a\left(t_0\right)} A\left(t_0\right) \quad \frac{a\left(t_1\right)}{a\left(t_0\right)}=k=\frac{(1+i)^{t_1}}{(1+i)^{t_0}}=(1+i)^{t_1-t_0} \ln (k)=\left(t_1-t_0\right) \ln (1+i)
$$
然后我们解决 $\left(t_1-t_0\right)$ 和以前一样。
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