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数学代写|微积分代写Calculus代写|Differentiability implies continuity

One of the phrases defined in definition 1 is “differentiable at $x=k$,” which means the derivative exists at $x=k$. This requires two things: first, that the derivative formula yields the same real result for every infinitesimal $\alpha$; and second, that it does not render $\infty$ or $-\infty$, but renders a real number. This tells the story algebraically but not visually.

Our task for most of the remainder of this section is to determine what differentiability means on the graph of a function.

If $f$ is differentiable at $x=k$, then the function has a tangent line at $x=k$, as in figure 1 . The function must then have a point at $x=k$, meaning that $f(k)$ exists. We have seen the requirement that $f(k)$ exists before-namely, with continuity. Perhaps there is a connection.

Pictures of discontinuities can help us think about differentiability. In figure 2, the function is not defined at the discontinuities and therefore is not differentiable there.What if the value of the function exists at $x=k$, but the function is still discontinuous there? In this case, imagine what the tangent line must look like. The slope of the tangent line is found as the slope of the line through the two points $(k, f(k))$ and $(k+\alpha, f(k+\alpha))$ for an infinitesimal $\alpha$. The second point is located on the curve at a point with the $x$-coordinate essentially the same as $x=k$. Such a line is drawn for various possibilities in figure 3.For an appropriately chosen value of $\alpha$, the result in each graph is a vertical line, and the derivative formula renders either $\infty$ or $-\infty$ for that value of $\alpha$. The function is not differentiable at $x=k$. Although the graphs in figure 3 do not constitute a proof, it is reasonable to conjecture that if a function is not continuous at $x=k$, then it is not differentiable there either.

数学代写|微积分代写Calculus代写|Differentiability, corners, and smoothness

Example 5 Let $f(x)=|x|$. Find $f^{\prime}(0)$.
Solution We use the derivative formula with $k=0$ :
$$
f^{\prime}(0)=\frac{f(0+\alpha)-f(0)}{\alpha}=\frac{|\alpha|-|0|}{\alpha}=\frac{|\alpha|}{\alpha}
$$ and we are stuck. Because $\alpha$ may be either positive or negative, we do not know how to take its absolute value. When we encountered this same issue with limits, we tried using $\omega$ and $-\omega$ to help us. We can try it here as well.

Using the derivative formula with the positive infinitesimal $\omega$ in place of $\alpha$ gives
$$
f^{\prime}(0)=\frac{f(0+\omega)-f(0)}{\omega}=\frac{|\omega|-|0|}{\omega}=\frac{|\omega|}{\omega}=\frac{\omega}{\omega}=1 .
$$
We are not stuck with $|\omega|$ because we know that $\omega$ is positive.
Using the derivative formula with the negative infinitesimal $-\omega$ in place of $\alpha$ gives
$$
f^{\prime}(0)=\frac{f(0+(-\omega))-f(0)}{-\omega}=\frac{|-\omega|-|0|}{-\omega}=\frac{|-\omega|}{-\omega}=\frac{\omega}{-\omega}=-1 .
$$
We are not stuck with $|-\omega|$ because we know that $\omega$ is positive.
Remember that in order for the derivative to exist, we must render the same real result for every infinitesimal $\alpha$, but here we rendered different results when we used the infinitesimals $\omega$ and $-\omega$. The derivative does not exist (DNE); $f^{\prime}(0)$ DNE. The function $f$ is not differentiable at $x=0$.

The results of example 5 are easily explained from the graph of $y=|x|$ (figure 4). When $x$ is positive, $y=|x|$ is the same as $y=x$, which is a line with slope 1 . When $x$ is negative, $y=|x|$ is the same as $y=-x$, which is a line with slope $-1$. This is exactly what we calculated for the slope near zero. Using a positive infinitesimal, the slope is 1 ; using a negative infinitesimal, the slope is $-1$. Where the two lines meet at $(0,0)$ there is a “corner.” At a corner in a graph, the slope on one side of the corner appears to be different from the slope on the other side of the corner, and the function is not differentiable there.

Because a corner in a graph indicates a place where the function is not differentiable, then the graph of a function that is differentiable everywhere must have no corners. We say that such a function is smooth. At the beginning of section $1.6$ we examined the connect-the-dot game with the function $f(x)=x^2$, and saw that the instructions in an algebra course were to connect the points, not by straight line segments, but by making a smooth, connected curve. In example 2, we saw that if $f(x)=x^2$, then $f^{\prime}(x)=2 x$, which is defined everywhere; since $f(x)=x^2$ is differentiable everywhere, then its graph must have no corners. Differentiability is the justification for the instructions you have followed since algebra to draw most functions in a smooth manner. See figure 5.

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微积分代考

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定义 1 中定义的短语之一是“在 $x=k_r^{\prime \prime}$ 这意味着导数存在于 $x=k$. 这需要两件事: 首先,导数公式对每 个无穷小数产生相同的实际结果 $\alpha$; 其次,它不会呈现 $\infty$ 或者 $-\infty$ ,但呈现一个实数。这以代数方式而不 是视觉方式讲述了这个故事。
对于本节剩余部分的大部分内容,我们的任务是确定可微性在函数图上的含义。
如果 $f$ 可微分于 $x=k$ ,则函数在处有一条切线 $x=k$ ,如图 1 所示。该函数必须有一个点 $x=k$ ,意思 是 $f(k)$ 存在。我们已经看到了这样的要求 $f(k)$ 存在于之前,即具有连续性。也许有联系。
不连续性的图片可以帮助我们思考可微性。在图 2 中,函数没有定义在不连续处,因此在那里不可微。 如果函数的值存在于 $x=k$ ,但那里的功能仍然不连续? 在这种情况下,想象切线必须是什么样子。切 线的斜率是通过两点的线的斜率 $(k, f(k))$ 和 $(k+\alpha, f(k+\alpha))$ 对于一个无穷小的 $\alpha$. 第二个点位于曲线 上与 $x$ – 坐标基本相同 $x=k$. 为图3中的各种可能性绘制了这样的行 $\alpha$ ,每个图中的结果是 条垂直线, 并且导数公式旺现 $\infty$ 或者 $-\infty$ 对于那个值 $\alpha$. 该函数在 $x=k$. 虽然图 3 中的图形不构成证明,但可以合 理地推测,如果函数在 $x=k$ ,那么它在那里也不能微分。

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示例 5 让 $f(x)=|x|$. 寻找 $f^{\prime}(0)$.
解决方案我们使用导数公式 $k=0$ :
$$
f^{\prime}(0)=\frac{f(0+\alpha)-f(0)}{\alpha}=\frac{|\alpha|-|0|}{\alpha}=\frac{|\alpha|}{\alpha}
$$
我们被困住了。因为 $\alpha$ 可能是正数,也可能是负数,我们不知道如何取其绝对值。当我们遇到同样的限 制问题时,我们尝试使用 $\omega$ 和 $\omega$ 来帮助我们。我们也可以在这里试试。
使用具有正无穷小的导数公式 $\omega$ 代替 $\alpha$ 给
$$
f^{\prime}(0)=\frac{f(0+\omega)-f(0)}{\omega}=\frac{|\omega|-|0|}{\omega}=\frac{|\omega|}{\omega}=\frac{\omega}{\omega}=1 .
$$
我们没有坚持 $|\omega|$ 因为我们知道 $\omega$ 是积极的。
使用负无穷小的导数公式 $-\omega$ 代蒫 $\alpha$ 给
$$
f^{\prime}(0)=\frac{f(0+(-\omega))-f(0)}{-\omega}=\frac{|-\omega|-|0|}{-\omega}=\frac{|-\omega|}{-\omega}=\frac{\omega}{-\omega}=-1 .
$$
我们没有坚持 $|-\omega|$ 因为我们知道 $\omega$ 是积极的。
请记住,为了使导数存在,我们必须为每个无穷小渲染相同的真实结果 $\alpha$ ,但是这里我们使用无穷小时椬 染了不同的结果 $\omega$ 和 $-\omega$. 导数不存在 (DNE) ; $f^{\prime}(0) D N E_0$ 功能 $f$ 不可微分 $x=0$.
示例 5 的结果很容易从 $y=|x|$ (图 4) 。什么时候 $x$ 是积极的, $y=|x|$ 是相同的 $y=x$ ,这是一条斜率 为 1 的线。什么时候 $x$ 是负数, $y=|x|$ 是相同的 $y=-x$ ,这是一条有斜率的线 $-1$. 这正是我们为接近 雴的斜率计算的结果。使用正无穷小,斜率为 1 ;使用负无穷小,斜率是 $-1$. 两条线相交的地方 $(0,0)$ 有 一个”角落”。在图形的角处,角的一则的斜率似乎与角的另一则的斜率不同,并且函数在那里不可微。
因为图中的角点表示函数不可导的地方,所以处处可导的函数图一定没有角点。我们说这样的函数是平 滑的。在部分的开头 $1.6$ 我们用函数检查了连接点游戏 $f(x)=x^2$ ,并且看到代数㞅程中的说明是连接 点,而不是通过直线段,而是通过制作平滑的连接曲线。在示例 2 中,我们看到如果 $f(x)=x^2$ ,然后 $f^{\prime}(x)=2 x$ ,在任何地方都有定义;自从 $f(x)=x^2$ 处处可微,则它的图一定没有角。可微性是您自代 数以来道循的指令以平滑方式绘制大多数函数的理由。见图 5。

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